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量子力学常用积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) () (8) (a0) (正偶数) (9) = (正奇数) () (10) () (11)) () (12) (13) (14) (15) (16) () () 第二章：函数与波动方程 [1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式: 在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E 则 代入公式得: 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,,(1)改写为: (2) 积分得: 遍乘得 [乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示: 求微分: (4) 求积分: (5) 将(4)(5)代量子化条件: T是振动周期,T=,求出积分,得 正整数 # [2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 (解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: (1) (2) (3) 都是常数,总动量平方总能量是: = = 但 正整数. # [3] 平面转子的转动惯量为,求能量允许值. (解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种 刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是 利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有 (1) 说明是量子化的 (……..) (2) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3) # [4]有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值. (解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: (1) 又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 (2) 即 (3) 由(1)(2)求得电荷动能= 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代入前式得 运动电荷的磁势能= (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( ) # [5]对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出: (1) (2) 试根据哈密顿量 (3) 及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,,因而 (4) 从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除: 按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数： = 最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。 又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定 （是频率） 利用（5）式得知 （6） 故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设： ， （7） # [6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律 这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？ （解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程 设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有 又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件： （2） 求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件