量子力学辅导刚要2.docVIP

《量子力学》辅导纲要（2） 第5章 表象理论 主要内容： 1．数学准备：矢量空间及其的定义。么正变换。 2．学会由抽象的一般表达式过渡到具体表象的方法，特别是用狄拉 克符号统一地给出各种表象及各种表象间的变换。深刻地理解到各 种表象能等同地处理量子力学中的问题，由此加深对波函数物理意义 的理解。 要点：1. 各种表象的等同性，波函数及算符表象的计算。 2．么正矩阵元的物理意义及计算，各种表象间的变换。 3．、及意义的正确理解，波函数及算符具体表象的 表达式及其变换。 4．对完备性公式深刻理解和熟练运用。 重点掌握： 1. 1 态函数的表象 设是坐标表象中的任意一个归一化的波函数， 。 将按顺序排成一列矩阵，就得到了状态波函数在表象中的表示 。 (1) 这时，两个态矢量的内积可写为 (2) 如果的本征值是连续谱，则对本征值谱的求和要化为积分，并且只能想象是一列矩阵，而不能写出。如果在坐标表象中是归一化的，则在表象中也是归一化的。即， 。 (3) 这里是由我们熟悉的坐标表象导出任一力学量的表象，但这不是必须的。 1．2 算符的矩阵表示 设在坐标表象中已知： ， (4) ， (5) ， ， (6) 这里是任意态矢量。算符在力学量表象中的形式是 (7) (8) 方程(5)变为 (9) 量子力学中的力学量算符是厄米的，则 (10) 满足(10)的矩阵称为厄米矩阵。可见，厄米算符对应的是厄米矩阵。 力学量算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元就是其本征值。 (11) 1．3 典型公式的矩阵表示 算符方程就是（9），写成矩阵形式 (12) 本征方程 算符的本征方程是算符方程的一个特例， (13) 线性齐次方程有解的条件是其系数行列式为零，即 （14) 方程（14)的根就是算符的本征值。将根代入(13)就可求得相应的本征函数。 薛定諤方程 设力学量算符不含，在表象中薛定諤方程的矩阵形式为 (15) 平均值公式 在表象中，有 (16) 2．1狄拉克符号 1．完备性关系 对于分立谱 。 (17) 对于连续谱，则求和化为积分。例如，坐标和动量表象下的完备性关系分别 ， 。 (18) 称为完备性关系。这是一个非常有用的公式 2．由狄拉克符号得到具体表象 设力学量的正交归一完备本征矢为，则在表象中，任意态矢可以向的本征矢展开 (19) (20) 态矢在表象中的波函数是 (21) 设算符的作用是将态矢变成态矢， ， (22) (19)及(22)式中的算符及态矢量都是与任何表象无关的、抽象的算符及态矢量。(22)在具体的表象中写出就得到 (23) 式中 ， (24) 及分别是在表象中及的矩阵元，是