解线性方程组的列主元素高斯消去法与LU分解法.doc

实验报告 一、实验名称 解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求 通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。 解下列两个线性方程组 （1） （2） 1、列主元高斯消去法： 记 （） （） 消元过程 对于R=1,2，……，n-1执行 1）选行号，使 交换与（j=k,k+1,……n）以及与所含的数值。 对于i=k+1,k+2,……，n计算 j=k+1,k+2,……n. 回代过程 在此算法中的（k=1,2,……，n-1）称为第k个列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。 LU分解法通过自有的函数把系数矩阵分解成，其中，是下三角矩阵，是上三角矩阵。这时方程组＝就可化为两个容易求解的三角形方程组＝，＝．先由＝解出向量＝解出向量这就是原方程组＝的解向量。 Y N (2)LU分解法程序流程图如下： Y N Y N 这里我使用了四种框，一种是起止框 ，一种是输入输出框 ，一种是判断框 ，还有一种是处理框 。 3、列主元素高斯消去法的文件 function a=liezhuGS(A,b) r=length(A[1],i) for i=1:r for j=1:r if A(i,i)A(j,i) for k=i:r c=A(i:k); A(i,k)=A(j,k); A(j,k)=c; end d=b(i); b(i)=b(j); b(j)=d; end end for l=(i+1):r p=A(l,l)/A(i,i); for m=i:r A(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m); end b(l)=b(l)-p*b(i); end end A……Z=det(A)… b for n=r:-1:1 if n==r x(n)=b(n)/A(n,n); else for q=1:(r-n) b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q); end x(n)=b(n)/A(n,n); end end x 4、LU分解法的M文件如下： Function a=Lufenjiefa(A,b) [L,U]=lu(A) Y=l\b X=u\y A b Z=det(l)*det(u) 5、实验步骤如下： （1）A=；b= ；分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据 （2） A= ;b=;分别在命令窗口中运 行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据 （3）A=；b= ;分别运行LiezhuGs(A,b),记录列主行交换次序x,det(A) （4）A= ；b=;运行LiezhuGs(A,b),记录相关数据 （5）分别对上述A，b在命令窗口运行x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。 六、实验结果 实验项目 列主元高斯消去法 LU分解法 Matlab内部函数法 （1） A= L= U= （2） （3） （4） 七、实验结果分析 解线性方程组有选主元的必要性。 LU分解法具有简洁、正确的优点，调用[L,U]内部函数使其解法简便，得出的系数距阵的行列式为精确值。 实验(1)系数为3.01改为3.00，0.978改为0.990，得出结果如上所示。实验（1）中系数发生微小改变后，结果变化不大。 用Matlab的内部函数inv计算得出的解向量x=inv(A)*b,即为上述各方程组的解，与列主元素高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较可知，它们都是等同的，这说明列主元素消去法具有良好的数值稳定性。 开始 读入矩阵A，b 选主元 ik=k ? 跳出循环 列主元 计算 对A进行上三角变换 回代求x 输出x 结束 开始 读入矩阵A 求出值y(1),y(2) 求 i3 ? 输出y 求y值 求末值x(n),x(n-1) j3 ? 求x值 输出x 结束