第2节 误差引论.pdf

第2章 误差引论 2.1 引论 由于科学技术的发展，提出了将科 学家从繁琐的计算工作中解放出来的要 求，而实际上有些复杂的计算问题根本 无法用人工计算完成，为解决这样的计 算任务，人们开始研究妥善解决计算机 数值计算问题的方式。 2.2 计算机数值计算方法 • 随着科学技术的发展，出现了许多复杂的科学技术问题。 为了解决这些问题，先要根据提出的问题和条件建立数学 模型，然后进行解算。从数学模型求解的角度看，有解析 法、数值解法和图解法等。 • 通常把求数值解的问题称为数值计算问题，把求数值解的 方法称为数值计算方法。有些数值计算问题由于其计算工 作量极大，人工计算无法完成，由此产生了使用计算机解 决数值计算问题的方法，这就是计算机数值计算方法。 图2.1 计算机进行数值计算的基本过程 2.3 误差及有关概念 2.3.1 误差及其来源 科学计算中所处理的数据和计算的结果通常都是在 一定范围内的近似值，它们与实际的真实值之间存在着 误差。也就是说，一个物理量的真实值和我们算出的值 * 往往不相等，其差值称为误差。假设 为准确值 （又 x * 称精确值）， 是 的一个近似值，则误差可以表示 x x 为 * e  x x (2.2) 注：为了便于表示，在本书中，若无特殊说明，右上 角带 “*”的变量均为准确量，右上角不带 “*”的变 量为近似值。 误差的来源有下面几种： 1) 模型误差 2) 测量误差 （观测误差） 3) 截断误差(方法误差) 4) 舍入误差 1) 模型误差 我们在解决实际问题时，通常需要将实际 问题转化为数学问题，然后加以求解。这样的 转化过程就是建立数学模型的过程。 建立数学模型时，为便于分析或计算，往 往需要对实际问题进行抽象和合理的简化，忽 略一些次要因素。这样，建立的数学模型虽然 “精确”，但其实只是客观现象的一种近似。 这种实际问题与数学模型之间产生的误差称为 模型误差。 2) 测量误差 （观测误差） 在建立的数学模型中，一般都含有从测量、 实验，并加以记录而得到的数据，比如温度、时 间、速度、长度、电流、电压等等。 在测量或实验过程中由于所使用的测量仪器 的精密性、实验手段的局限性、某些偶然的客观 因素，不可避免地会引入一定的误差，这种误差 称为测量误差。 3) 截断误差(方法误差) 在使用无穷级数求和时，只能取前面有限 项的和来近似作为该级数的和，于是就产生了 有限过程代替无限过程的误差。 这种在计算过程中通过有限过程的计算结 果代替无限过程的结果而造成的误差，称为截 断误差，这是计算方法本身出现的误差，故又 称为方法误差。 截断误差的大小，直接影响数值计算的精 度，所以它是数值计算中必须十分重视的一类 误差。 4) 舍入误差 在计算中由于四舍五入而产生的误差，称为 舍入误差。 这种误差的产生是由于在计算机中遇到的数 据可能位数很多，也可能是无穷小数（例如 1/3=0.33333…等），但计算机在计算时，都只能 用有限位小数来代替或用位数较少的小数来代替 位数较多的有限小数，即必须进行四舍五入。 少量的舍入误差可能微不足道