2011年高考数学最后压轴大题系列--函数及导数.doc

2011年高考数学最后压轴大题系列----函数与导数 1.已知函数，，的最小值恰好是的三个根，其中． （）求证：； （）设，是函数的两个极值点． 若，求函数，，，………………………2分 由，得 ∴ ， 故方程的两根是，． 故，．……………………………5分 ，即 ∴ ． ………………………………………………………………………7分 （2）①依题意是方程的根， 故有，， 且△，得． 由…………………………10分 ；得，，． 由（1）知，故， ∴ ， ∴ ．………………………………………………14分 2.设函数. （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ） （1分） 令得的单调递增区间为（a,3a） 令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） （4分） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极小值=b. （6分） （Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分） ∵0a1， ∴a+12a. ∴上是减函数. （9分） ∴ 于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又 ∴ （12分） 3.已知函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程； (2)设，其中，求F(x)的单调区间． 解：(1)∵过点∴a=-8, …………………2分 ∴切线的斜率………………………3分 ∵的图像过点∴4b+2c=0, ∵,解得：b=8,c=-16……………4分 ∴……………………………………………………………5分 切线方程为．即16x-y-32=0……………………………………6分 ∵ ……………………………………8分 当m0时，∵m0 ∴………………………………9分 又x1 当时 当时 ∴F(x)的单调减区间是 ∴F(x)的单调增区间是(1，)………………………………………………11分 即m0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，) …l2分 4．已知函数 （Ⅰ）若，求的极大值； （Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围. 解：（Ⅰ）定义域为 ……………………………………………………………2分 令 由 由 …………………………………………………………4分 即上单调递增，在上单调递减 时，F(x)取得极大值 ……………………6分 （Ⅱ）的定义域为(0+∞) 由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+∞)内恒成立 ………8分 令，则 由 ∵当时为增函数 当时 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e时，H(x)取最大值 故只需恒成立， 又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 ………………………………………………………………………………12分 5.已知函数 （I）求f(x)在[0，1]上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 解：（I）， 令（舍去） 单调递增；当单调递减. 上的极大值 （II）由得 设， ， 依题意知上恒成立， ， ， 上单增，要使不等式①成立， 当且仅当 （III）由 令， 当上递增； 上递减而， 恰有两个不同实根等价于 …………………………………………12分 6. 已知函数f(x)=-x3+x2+b|x-1|+c (Ⅰ)若函数f(x)是R上减函数，试确定实数b的取值范围； (Ⅱ)设f (x)在x=2时取极值，过点(0,2)作与f (x)相切的直线，问是否至少存在两条与f (x)相切的直线，若存在，试求出c的取值范围，若不存在，说明理由。 解：(Ⅰ)当x≥1时，f(x)=-x3+x2+b(x-1)+c， f′(x)=-3x2+x+b≤0恒成立，则b≤3x2-x恒成立， 由于3x2-x=3(x-)2-(x≥1)，因此当x=1时，3x2-x有最小值2, ∴b≥， 又f(x)在x=1处连续 ∴b的取值范围是≤b≤2 (Ⅱ)∵f(x)在x=2时取极值，而当x≥1时，f′(x)=-3x2+x+b ∴f(x)=-x3+x2+10·|x-1|+c= 若存在直线过点(0,2)与f(x)相切，设切点为(x，y) 由于f(x)在R上连续，但在x=1处不可导，易知在x=1处切线不存在 当x1时，f′(x)=-3x2+x+10，则-3x+x+10=，即 (-3x+x+10)·x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*) 构造函数g(x)=-