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项目七 概率论、数据统计与区间估计 实验1 概率模型 实验目的 通过将随机试验可视化, 直观地理解概率论中的一些基本概念, 从频率与概 率的关系来体会概率的统计定义, 并初步体验随机模拟方法. 通过图形直观理解随机变量及 其概率分布的特点. 基本命令 1.调用统计软包的命令 进行统计数据的处理, 必须调用相应的软件包, 首先要输入并执行命令 statistics` 以完成数据统计的准备工作. 2.调用作图软件包的命令Graphics\Graphics.m 用Mathematica作直方图, 必须调用相应的作图软件包, 输入并执行 Graphics` 这时可以查询这个软件包中的一些作图命令的用法. 如输入 ??BarChart 则得到命令BarChart的用法说明; 如果没有, 则说明调用软件包不成功, 必须重新启动计算 机, 再次调用软件包. 实验举例 频率与概率 例1.1(高尔顿钉板实验)自高尔顿钉板上端放一个小球, 任其自由下落. 在其下落过程 中, 当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p, 从右边落下的概率为碰到下一排钉子又 是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 则此球落入哪个格子事先难以确 定. 设横排共有排钉子, 下面进行模拟实验: (1) 取自板上端放入一个小球, 观察小球落下的位置; 将该实验重复作5次, 观 察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性; (2) 分别取自板上端放入n个小球, 取 观察n个小球落下后 呈现的曲线. 作出不同p值下5000个小球落入各个格子的频数的直方图, 输入 Statistics` Graphics`Graphics` Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={}; For[l=1,l=n,l++,k=0; t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}]; Do[If[t[[i]]==1,k++,k--],{i,1,m}];dist=Append[dist,k]; pp=Frequencies[dist];];Histogram[dist,BarStyle-{RGBColor[0,0,1]}];] p=0.15;n=5000;m=20;Galton[n,m,p] p=0.5;n=5000;m=20;Galton[n,m,p] p=0.85;n=5000;m=20;Galton[n,m,p] 则输出 p?0.15 p?0.5 p?0.85 图1-1 由图1-1可见: 若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化, 则高尔顿钉板实验中小球 落入各个格子的频数发生变化, 从而频率也相应地发生变化. 而且, 当曲线峰值的 格子位置向右偏; 当曲线峰值的格子位置向左偏. 几何概型 例1.2 甲、乙二人约定八点到九点在某地会面, 先到者等20分钟离去, 试求两人能会面 的概率. 由于甲、乙二人在[0,60]时间区间中任何时刻到达是等可能的, 若以X,Y分别代表甲乙二 人到达的时刻, 则每次试验相当于在边长为60的正方形区域 中取一点. 设到达时刻互不影响, 因此在区域内取点的可能性只与区域的面积大小成正 比, 而与其形状、位置无关. 于是, 会面问题可化为向区域随机投点的问题. 所关心的事 件“二人能会面”可表示为 (图1-2) 于是, 所求概率的理论值为 (A的面积)/(的面积) 图1-2 下面, 我们作如下模拟试验: (1) 模拟向有界区域投点n次的随机试验, 取, 统计每次投点是否落在图1-2 所示区域A中, 若是则计数1次. (2) 改变投点数统计落入区域A的次数. 输入 meet[n_Integer]:=Module[{x}, x[k_]:=x[k]=Abs[Random[Integer,{0,60}]-Random[Integer,{0,60}]]; pile=Table[x[k],{k,1,n}];times=Count[pile,x_/;0=x=20]; Print[times];frequence=N[times/n]] n=100;meet[n] n=1000;meet[n] n=5000;meet[n] n=10000;meet[n] 则输出所求结果, 为方便比较, 将输出结果列于表1-1中 表1-1 约会次数 约会成功次数 约会成功频率 理论约会成功概率 100 58 0.58 1000 557 0.557 0.556 5000 2842 0.5684 10000 5529 0.5529 从上表结果可见, 当约会次数越来越大时, 试验约会成功频率与理论约会成功概率越来 越接近. 离散型随机变量及其概率分布 例1.3(二项分