06第2部分结语误差理论(2课时)资料.ppt

五、不等精度观测的中误差 同精度观测的各观测值在参与计算函数误差精度估计时，它们的权利是相等的。而如果各观测值的精度不同，那么在函数误差估计中，它们前面的系数也就应该不相同，称这些不相同的系数为权。 * [例] 有直线AB，由两个测量小组对它作了长度测量，各小组的每次测量都是在相同观测条件下进行的，即每次观测值的精度都相同。小组1共测量了2次，所得的测量值为l1，它是2次测量值的算术平均值。小组2共测量了4次，所得的测量值为l2，它是4次测量值的算术平均值。现在的问题是，是否可以取l1和l2的算术平均值作为直线AB真值的估计值? * 解：回答是否定的，因为l1只是2次测量值的平均，而l2是4次测量值的平均，它的精度明显地高于l1的精度。也就是说在计算直线AB的最后结果时，必须顾及到二者的精度状况，亦即在作平均值计算时，需要将、前面的系数取不同的数值（取不同的权）。 * 为了说明如何确定权的大小，将两个小组的原始观测值合并在一起计算，即直线AB的最后结果L为 * 等号右端，分子l1的系数即为l1的权，用p1表示， l2的系数即为l2的权，用p2表示，于是可以写成一般的计算式 * 推广至n个不同精度的观测值，则有： 称上式为加权平均计算，L即为加权平均值（亦称带权平均值或广义算术平均值） 可以看出，各观测值的权相互之间是一种比例关系。它们代表着相互之间的精度关系，即权是一个代表相对精度的量。 既然权与观测值的精度有关，那么权与中误差的关系是怎样的？ * 设小组1和小组2各次观测值的中误差为m，那么，由误差传播定律知， l1的中误差m1 ， l2的中误差m2分别为 * 写成一般形式 可见，观测值的权与观测值的中误差平方成反比。显然，上等号右端的系数为1，也就是说权为1，并称为单位权，对应的中误差则称为单位权中误差，通常记为μ。 * 下面讨论加权平均值的权的问题 根据加权平均值的计算公式，其真误差与各观测值的真误差之间的关系为： 由误差传播定律 推论到更多的观测值个数，则 * 可见，加权平均值的权即是参与计算的各观测值的权之和。 以上讨论说明，权是各观测值的相对精度，因此各观测值的权就可以由与精度有关的量来表示，如测量的次数，水准测量的测站数或水准测量的路线长度等等。这些量都不需要在预先知道观测值中误差的情况下即可获得，因此对于计算是有利的。 但是在需要知道单位权中误差时，计算的办法： 事先设定，如前面所述的以一次观测的中误差为单位权中误差 在以下三种情况，分别用公式计算 * 对于从已知点A施测到B点的单一水准路线，设水准路线上各测站的高差为hi(i=1,2,…,n)，则B点的高程HB为 * 因HA为已知点，其误差可以忽略不计，则 * 各测站精度相同，中误差设为mh 误差传播律 取mh=μ,为单位权中误差 1/n即为B点高程的权，也就是说，测站数越多（n越大），B点高程的精度越低（权越小）。 若hi为第ikm的高差，则类似地可以将B点的高程写为 式中的L表示由A点测至B点时，水准路线共有Lkm长。虽然实际的水准测量是一站一站地进行，误差的积累与站数有关，但各测站的后、前视距离之和仍然表现出与距离有着联系，测站数越多，距离越长。特别是在各测站的后、前视距离大约相等时，以距离计算误差间的关系与以测站计算误差间的关系相同。 进行类似的推算可得 1/L即为以1km测量高差中误差为单位权中误差时B点高程的权。也就是说，距离越长（L越大），B点高程的精度越低（权越小）。当然L的单位应是千米，μ为1km测量高差的中误差，即单位权中误差。 【例】 某测量小组由已知点A开始进行水准测量，每个测站的后视、前视距离之和为150m，共用了40个测站才测到B点。设每测站的后视、前视在水准尺上的读数误差为±1mm，问：①测得的B点高程中误差是多少？②若以1个测站的观测高差中误差为单位权中误差，B点高程的权是多少？③以1km的观测高差中误差为单位权中误差，B点高程的权是多少？ 解： ①因为每个测站的高差计算是后视a减前视b，即：hi ＝ ai－bi 真误差的关系为 由误差传播律得 由题意知： ，故各测站的mh均为 可得 ②题意要求取1个测站的观测高差中误差为单位权中误差，即以mhi为单位权中误差。由 知，B点高程中误差为1/n，而n=40，故本问的答案为1/40。 ③因题意要求取1km观测高差中误差为单位权中误差，故需将路线总长L按km为单位，即 L=150×40/1000=6km 由