第二节 非线性方程的解法(王培康).pdf

第二章 非线性方程的解法 第一节 引言 非线性方程求根是科学与工程计算中常见 的问题. 本章针对非线性方程 f (x ) 0 介绍实 根计算的数值方法. 即寻找实数x * 使 f (x *) 0. 此时实数x * 也称为函数f (x ) 的零点. 本章都把方程f (x ) 0 的精确解记为x * . 对大多数非线性方程f (x ) 0 没有求根公式, 只能用数值方法求出x * 的近似解. 1 在本章中我们采用的都是迭代法, 即用某 种方法构造一个近似解序列{xk }, 使之收敛于 精确解x *. 即xk →x * (k →∞). 当然我们还要考虑它的收敛速度, 在同样 的精度要求下, 收敛速度越快意味着计算量越 小. 一般情况下, 用计算机求解非线性方程分 两步进行: 一是寻找有根区间; 二是根的精确 化, 即从有根区间内根的近似值出发, 利用迭 代法计算满足精度要求的根的近似解. 2 非线性方程求根方法的适用范围及收敛性, 与方程根的重数有关. 下面给出方程有重根的判定定理. 定理1 x * 是方程 f (x ) 0 的m 重根 m ⇔ f (x ) (x −x *) h (x ) 且h (x *) ≠0. 若函数f (x ) 有m 阶连续导数, 则有 定理2 x * 是方程 f (x ) 0 的m 重根 (k ) (m ) ⇔f (x *) 0 (k 0,1,2, ,m −1) 且f (x *) ≠0. 3 第二节 二分法 如果函数f (x ) 在[a ,b ] 上连续, 且f (a )f (b ) 0, 则由连续函数的介值定理, 方程f (x ) 0 在[a ,b ] 上 当[a , b ]为有根 , 至少有一个实根x *. 区间时 利用二分 法即可求得此情形下满足一定精度要求的方程的根x * 的近似值. 该方法的基本思想是: 以连续函数的介值定理为 基础, 在迭代过程中, 根据区间中点处函数值的符号 不断对有根区间进行压缩, 从而以一系列有根区间中 点构成的序列逼近方程的根.