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母函数的性质及应用 2009 国家集训队论文 毛杰明 南京外国语学校 Email:maojm517@163.com 邮政编码:210008 目录 摘要2 关键字2 §1.母函数的性质 2 §1.1. 定义 2 §1.2. 基本操作 3 §1.3. 简单的序列所对应的母函数 4 §1.4. 指数型母函数 5 §1.5. 母函数型 Pólya 定理 7 §2.母函数的应用 9 §2.1. 原创题 9 §2.2. Chocolate 11 §2.3. Sweet13 §2.4. 证明题 16 §2.5. Polygon17 §3.总结20 参考文献21 1 附录21 摘要 母函数理论是离散数学的重要方法，是连接离散数学与连续数学的桥梁。它是处理数列 以及组合计数问题的有力工具，它的威力在于能用一种统一的方式解决各种不同类型的问 题，所以在解决信息学竞赛的一些问题时母函数有着令人惊讶的效果，在优化算法以及证明 命题时也有着重要的作用。本文首先介绍母函数的性质，然后结合一些典型的题目展示母函 数在信息学竞赛中的应用，最后本文给出了对母函数的一个总结。 关键字 母函数 递推 排列组合 §1.母函数的性质 §1.1. 定义 母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式： G(x) g g x g x 2  g x n 0 1 2 n n0 我们称G(x) 是序列g , g , g , 的母函数,下文表示为： 0 1 2 G(x) g ,g , g ,  0 1 2 举一个例子： 2 序列1,1,1,1,1对应的母函数是 G(x) 1x x 2 x 3  x n n0 2 3 1 1 用等比数列求和公式我们知道 G(x) 1x x x  ,这里我们称 1x 1x 是这个母函数的闭形式。 需要注意的是，由于收敛问题，这个公式在 x 1时并不成立。但因为我们在考虑母函 数的问题时不需要代入 x 的值求出函数值，所以我们在做母函数时并不需要考虑收敛性，本 文将忽略母函数的收敛问题。 §1.2. 基本操作 1．放缩： cG(x) cg cg x cg x cg ,cg ,cg ,  0 1 2 0 1 2 2 ．加减法：