第九章 高中数学教学论文 构造函数证明不等式.doc

构造函数证明不等式 函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式. 二次函数型： 作差构造法. 例1.(新教材第二册（上）（以下同）习题1（2）)求证: 分析:将视为变量,考察函数由于该二次函数的图象开口向上,且故结论获证. 例2.( 教材复习参考题6)设为的三条边,求证:＜∵图象开口向上,对称轴.∴在上单调递减.∵为的三条边,∴＜＜)∴. ∵ ∴即结论成立. 判别式构造法. 例3.(教材例1)已知都是实数,且求证: 分析：所证结论即是故可构造函数 由于 当且仅当时取“=”号.又因为的图象开口向上,故必有 结论成立. 练习1.(教材练习2)求证: 点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是: 可构造函数证之. 练习2.(教材习题6)已知是不相等的两个正数,求证: 点拨:构造函数证之. 练习3. (教材习题7)已知都是正数,且,求证: 点拨:构造函数证之. 练习4. (教材复习参考题5)求证: 点拨:构造函数证之. 分式函数型: 例4. (教材例2)已知都是正数,并且求证: 分析:构造函数由于当时，故在上是增函数.∵在处右连续，∴在上是增函数.∵ ∴ 即 例5. (教材例3)已知求证: 分析:构造函数由于当时， 故在上是增函数.∵在处右连续，在处左连续. ∴在上是增函数.∵ ∴ ,即, 即 例6. (教材练习5)已知都是正数,且求证: 分析:联想定比分点坐标公式,可写成故可构造函数 ∵当时， ∴在上是增函数. ∵在处右连续， ∴在上是增函数.又∵∴而故原不等式成立. 练习5. (教材练习4)已知求证: 点拨:构造函数 练习6. (教材习题9)已知的三边长分别是.且为正数.求证: 点拨:构造函数易证为增函数.由于故即而故有 练习7. (教材习题4)求证: 分析:构造函数证之. 幂函数型： 例7 .如果都是正数，且求证： 考察函数 (nN*)在上的单调性，显然在上为增函数. ,则, ,所以,则, ,所以 利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为: 若a、b是正数且ab,求证： (m,nN*) 求证: 分析:构造函数 ∵ ∴对任意恒有故原不等式成立. 三角函数型： 例9.(同例3) 分析:设 则 练习8.设且求证: 点拨:设其中以下略. 六、 指数函数型: 例10．已知等差数列和等比数列，其中， ， ＜＜，证明当时，. 分析: 设数列的公差为数列的公比为 由条件可得，即.所以，当时， ＞ 这儿,我们用二项式定理进行放缩,完成了证明. 七、构造函数,利用函数图象的凸性： 例11. (教材例6)求证+2 :考察函数f(x)=的图象特征是上凸函数 且都有：所以, 即+）. 两条结论: （1）上凸函数，区间中点相同时， 值之和越大. 例:及 (2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小. :,, 若 且与的大小，并加以证明（94年高考理科试题变式题）. :,若,试比较与的大小(94高考文科试题).习题5)求证: 以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路. 构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题： 例12．（2001年全国理）已知是正整数，且﹤≤＜ 证明＜. 证明＞. 分析：（1）＜可化为：＜，即：＜. 构造函数.（＞）. 两边取对数，得： 当时,两边求导，得：＞ 由于＞，故＞.这说明在上是增函数. ∵在处右连续. ∴ 在上是增函数. ∵≤＜. ∴＜. 即＜.整理，得：＜. （2）不等式＞两边取对数，得：＞. 整理，得：＞. 构造函数. 求导，得：. 当时,可得：＜＜，＞. 故＜.所以在上是减函数. ∵在处右连续. ∴在上是减函数. ∵＜，∴ ＞.即＞. 整理，得：＞. 注：不等式＞也可化为：＞.这时，可研究函数的单调性证之. 练习12.已知是正整数且≥.求证：＞. 点拨：不等式＞两边取自然对数，整理得：＞. 构造函数可证之. 说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为型或型, 方便了对函数的求导运算. 不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还可建立向量模型、解析几何模型、方程模型等，请读者自行研究、总结. 作者简介:陈兵,男,1976年10月26日出生,山东省滕州市人,中教二级, 学士学位. 6 用心 爱心 专心 5 3 7 x y o