第十三章 欧拉方法在常微分方程.ppt

第八章常微分方程数值解法 ----8.1 Euler 方法 第8章 常微分方法的数值解法 8.1.2 局部误差和方法的阶 8.1.1 Euler 方法及其有关的方法 第8章 常微分方法的数值解法 　　科学技术与工程问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，下面是这类问题的例子。 　　设N（t）为某物种的数量， 为该物种的的出生率与死亡率之差， 为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长率的数学模型是 　　设Q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，E为电源的电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是 　　以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。 设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，S是端点作用力，I（x）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程 　　针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。 8.1 Euler 方法 8.1.1 Euler 方法及其有关的方法 　　考虑一阶常微分方程初值的问题： 设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。 为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（8.1.1）进行离散化。一般是引入点列{ }，这里　　　　　　　　　　　　　　　为步长，经常考虑定长的情形，即 　　　。 记 为初始问题（8.1.1）的问题准确解 在 处的值，用均差近似代替（8.1.1）的导数得 令 为 的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得 （8.1.2） （8.1.3） 从 处的初值 开始，按（8.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称 （8.1.2）式为显式Euler。由于（8.1.3）式的右端隐含有待求函数值 ， 不能逐步显式计算，称（8.1.3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果 将（8.1.2）和（8.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。 梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由 去计算 ，故称它们为单步法。 例8.1 取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解 解 本题有 如果用Euler方法，由（8.1.2） 并代入h=0.1得 同理，用隐式Euler方法有 （8.1.4） 用梯形公式有 三种方法及准确解 的数值结果如表8-1所示。从表中看 到，在 处，Euler方法和隐式Euler方法的误差 分 别是 和 ，而梯形方法的误差却是 。 在例8.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计 算 。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如 ，其隐式 Euler公式为 。显然，它是 的非线性方程，可以选择 非线性方程求根的迭代求解 。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供 迭代初值 ，用公式 表8-1 Euler方法 隐式