Hilbert空间中框架Riesz基和正交基之间的关系.pdf

第23 卷第5 期（2007） 河西学院学报 Vol.23 No.5（2007） Hilbert 空间中框架，Riesz 基与正交基之间的关系 1 2 牛 晓 芳 李 建 华 (1 ．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062 ；２．河西学院数学系，甘肃 张掖 734000) 摘 要：本文讨论了Hilbert 空间中的框架、Riesz 基与正交基的关系．结果表明：无冗余的紧框架即为正交 基组；Riesz 基是线性无关的框架．并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架，正交基不 一定都能构成框架． 关键词：Hilbert 空间；Riesz 基；小波；紧框架；正交基 中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1672 －0520 （2007 ）05 －0012 －07 框架与Riesz 基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一，正交小波基理论的发展则架起了逼近论 与信号处理间一座新的桥梁．框架理论是由R.J.Duffin 和A.G.Schaeffer 在1952 年研究非调和Fourier 级数 时正式提出的，直到1986 年，Daubechies，Grossmann 和Meyer 的突破性研究，才使框架理论开始被广泛 关注．从空间中元素表示的角度看，框架可看成是基组概念的推广．由于正交基的正交性和紧支撑性是一 2 对不可调和的矛盾，所以我们试图放宽正交的条件，来构造可以表示L (R ) 的序列，即框架，Riesz 基， 多小波等．正是由于框架与Riesz 基有一定的冗余性，因此，它们在信号消噪、特征提取、鲁棒信号处理 等方面具有广泛的应用．近年来关于框架的研究与发展为小波研究的热点之一．框架，Riesz 基与基组之 间既有密切的联系，又有本质的区别．本文讨论了框架与Riesz 基之间和框架与正交基之间的关系．得到 Riesz 基是线性独立的矢量组成的框架；无冗余的紧框架即为正交基． 为了方便，如果不作特别说明，本文中空间 均指Hilbert 空间．本文第一部分介绍了一些基本的定 H 义、引理，第二部分讨论了框架与Riesz 基的关系，第三部分研究了紧框架与正交基的关系． 1 引言 定义 1.1 设{e (x )}为 中的线性无关的函数列，若对于任何g (x ) ∈H , 都有 H n g (x ) ∑a e , （1 ） n n n a {e } 且系数 是唯一的，则称 为空间 的一个基组. n n H 若该基组还满足 0, m ≠n ⎧ e (x), e (x) ⎨ , （2 ） n m ⎩1,m n 则称该基组为空间 的标准正交基，此时（1）式可以写成 H