第3讲 拉氏变换与传递函数1.ppt

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线性定常微分方程求解 复习拉普拉斯变换有关内容 该函数f(t)满足: t0时,f(t)=0 t0时,f(t)分段连续 常见函数L变换 L变换重要定理 例15: 待定系数法 留数法 情况2: F(s)有共轭极点(即复数极点) 例17:求解微分方程 情况3: F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么 1.将一般形式的微分方程变换成了传递函数,并且有了许多表达形式; 2.把研究对象的微积分运算形式变成了代数运算形式,简化了运算,降低了工作的难度; 3.更大的收获是在代数形式下,处理方法更多。 小结 拉氏变换及定理 不同物理性质的系统,可以有相同形式的传递函数。 例如:前面介绍的振荡环节中两个例子,一个是机械系统, 另一个是电气系统,但传递函数的形式完全相同。 同一个系统,当选取不同的输入量、输出量 时,就可能得到不同形式的传递函数。 例如:电容:输入—电流,输出—电压,则是积分环节。 反之,输入—电压,输出—电流,则为微分环节。 各种环节的传递函数 不同形式 储能元件 能量转换 振荡 运动方程式: 传递函数: ? ——环节的阻尼比 K——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 0?1 产生振荡 ??1 两个串联的惯性环节 例1:机械平移系统 例2:RLC串联网络 5)振荡环节 运动方程式: 传递函数: ?—环节的时间常数 超越函数近似处理 6)延滞环节 例25:水箱进水管的延滞 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅由于惯性,输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。 延迟环节从输入开始之初,在0 ~τ时间内没有输出,但t=τ之后,输出完全等于输入。 延迟环节与惯性环节的区别 基本典型环节的数学模型 1)是按数学模型的共性建立的,与系统元件不是一一对应的; 2)同一元件,取不同的输入输出量,有不同的传递函数,有不同的传递函数; 3)环节是相对的,一定条件下可以转化; 4)基本环节适合线性定常系统数学模型描述。 例19 求某系统的微分方程为 输入信号为 ,初始条件 ,求系统的输出 解:对方程两边作拉氏变换并代入初始条件和输入函数的拉氏变换得 则输出响应的拉氏变换为 式中包含有共轭复数极点 利用配方法展开成部分分式和的形式: 可以求得输出响应为 例20.已知系统的微分方程式为: 式中,y(t)—系统的输出量;r(t)—系统的输入量,初值为0 解: ∴ 例21 已知系统的微分方程式为: 并且设: ,求微分方程的解。 解: 例22.设系统输出量y(t)的拉氏变换Y(s)为: 试求Y(s)的拉氏变换y(t)。 解: ∴ (1) 输入 u r (t) 影响系统响应的因素 (2) 初始条件 (3) 系统的结构参数 —— 规定 r(t) = 1(t) —— 规定0 初始条件 —— 自身特性决定系统性能 8 传递函数 在零初始条件下(输入量施加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即t 0 时,输出量及其各阶导数也均为0 ),线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 1)传递函数的定义 系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量 系统传递函数的一般形式——微分形式 初始条件为零时 微分方程两边取拉氏变换,得 系统的传递函数 !传递函数的直接计算法 微分方程 传递函数 N(s)=0 系统的特征方程,?特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。 !从微分方程的角度看,此时相当于所有的导数项都为零。K ——系统处于静态时,输出与输入的比值。 当s=0时 系统的放大系数或增益 特征方程 ⑴ 首1标准型: ⑵ 尾1标准型: 两种标准形式 例23 已知 将其化为首1、尾1标准型,并确定其增益。 解. 首1标准型 尾1标准型 增益 M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m),称为传递函数的零点。 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0 的根 s=pj (j=1, 2, …, n),称为传递函数的极点。 !系统传递函数的极点就是系统的特征根。 !零点和极点的数值完全取决于系统的结构和参数。 零点和极点形式 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。 零点用“O”表示 极点用“×”表示 零、极点分布图(零、极点图) 传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数,与系统的输入形式无关。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性,

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