9矩阵法1.ppt

? y X2 Y2 e x X1 Y1 e e e e e e e [k] = [T]T k e [T] e e e e {F} =[k] {?} 离散化，各量的定义与方向 单元刚度矩阵的性质 §9-4 连续梁的整体刚度矩阵 按传统的位移法 i1 i2 1 2 ?1 4i1?1 2i1?1 0 i1 i2 1 2 ?2 2i1?2 2i2?2 (4i1+4i2)?2 i1 i2 1 2 ?3 0 2i2?3 4i2?3 每个结点位 移对{F}的单 独贡献 F1 F2 F3 4i1 2i1 0 2i1 4i1+4i2 2i2 0 2i2 4i2 ?1 ?2 ?3 = {F}=[K]{?} 根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。 传统位移法 设在三个结点上分别作用力矩载荷F1、F2、F3 {F}=[K]{?} 结构总体刚度方程 总体结点力、结点位移矢量 结构总刚度矩阵 一、 单元集成法的力学模型和基本概念 分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成 i1 i2 1 2 ?1 ?2 ?3 F3 {F} 1 = [ F1 1 F2 1 1 ]T F1 1 F2 1 F3 1 令 i2 =0，则 F3 1 =0 [k] = 4i1 2i1 4i1 2i1 1 F1 1 F2 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 ?1 ?2 （a） （b） F1 1 F2 1 F3 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 ?1 ?2 ?3 1 [K] {?} {F} = 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 单元 1 的贡献矩阵 单元 1 对结点力{F}的贡献 略去其它单元的贡献。 * 第9章 矩阵代数复习 1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列，称为m?n 阶矩阵。 A = a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 L L M O M L é ? ê ê ê ê ê ù ? ú ú ú ú ú 2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即 m = n 时，称为 n 阶方阵。 3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如： A = [ ] a a a a n 11 12 13 1 ? ? ? 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如： 在算法语言中，可用一个2维数组记忆一个矩阵 在算法语言中，可用一个1维数组记忆 4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的1?1阶矩阵称为纯量。 5、矩阵乘法 两个规则： （1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即 A B C p l m p l n m n ′ ′ ′ = = 当 时才能相乘 A B = a a a a b b 11 12 21 22 11 21 é ? ù ? ú é ? ù ? ú 共形 2 × 2 2 × 1 B A= b b a a a a 11 21 11 12 21 22 é ? ù ? ú é ? ù ? ú 非 共形 2 × 1 2 × 2 （2）不具有交换律，即 AB 1 BA 在算法语言中，可用一组循环实现计算 6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如： A= a a a a a a 11 12 21 22 31 32 é ? ê ê ê ù ? ú ú ú 其转置矩阵为 A T = é ? ê ù ? ú a a a a a a 11 21 31 12 22 32 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若 A=B C D 则 A T =D T C T B T 7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0 ， 但不一定 A=0 或 B=0。 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI = A IA = A 10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 AB = C 则 B = A - 1 C 此处 A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义： A A - 1 = A - 1 A = I 矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。 11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而 所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则 A = cos sin sin cos a a a a - é ? ê ù