人教版2016第一轮复习理科数学概率与统计的综合问题.pptVIP

【规范解答】(1)依题意,p1=P(40X80)= =0.2,p2=P(80≤X≤120) = =0.7,p3=P(X120)= =0.1. 根据二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 = (2)记水电站年总利润为Y, ①安装1台发电机的情形: 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,EY=1×5000=5000. ②安装2台发电机的情形: 依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2; 当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000, 因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8; 由此得分布列如下 所以,EY=4200×0.2+10000×0.8=8840. Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 ③安装3台发电机的情形: 依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400, 因此P(Y=3400)=P(40X80)=p1=0.2; 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200, 因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当X120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000, 因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1. 由此得分布列如下 所以,EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 【规律方法】 1.求数学期望值的方法 (1)求离散型随机变量分布列. (2)利用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn. 2.均值、方差意义的应用 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;方差小,说明取值较集中. 【变式训练】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示. 一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望. (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率) 【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个随机样本,将频率视为概率得: 因此X的分布列为: X 1 1.5 2 2.5 3 P X的数学期望为EX＝ (2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2) 为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+ P(X1=1 且X2=1.5)+ P(X1=1.5且X2=1). 由于顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+ P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) = 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 【加固训练】(2014·邯郸模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每 局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时 停止.设甲在每局中获胜的概率为P(P ),且各局胜负相互独立.已 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . (1)求p的值. (2)设X表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学期 望EX. 【解析】(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时, 第二局比赛结束时比赛停止,故p2+(1-p)2= , 解得p= 或p= ,又p ,故p= . (2)依题意知X的所有可能取值为2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 , 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P(X=2)= ,P(X=4)= 则随机变量X的分布列为: EX＝ X 2 4 6 P 热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题 考点一 统计