函数图形的凹向与拐点.docVIP

§5.5 函数图形的凹向与拐点 教学目的与要求 ,拐点及其求法； 2.能利用导数描绘函数图形. 教学重点与难点函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一第二充分条件上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形 （二）、新课 一、函数的凸凹及其片判别法 如图3—6可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义． 定义１ 如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的． 从图3—6还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定． 定理１ 设在上连续，在内具有二阶导数，则： 若在内，,则曲线在上是凹的． 若在内，,则曲线在上是凸的． 二、拐点及其求法 定义２ 曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点． 由拐点的定义和定理１知，使的点及不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定． 定理２ 设在内有二阶导数，则 若在与内异号，则点为曲线的拐点． 若在与内同号，则点不是曲线的拐点． 例１ 求函数的凸凹区间及拐点． 解 ，　． 令得；而为不存在的点．用将定义区间分成三个部分区间（见下表）． 由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,　；点是拐点． 0 — 不存在 凸 拐点 凹 不是拐点 凹 例２ 讨论函数的凸凹性及拐点． 解 函数的定义域为，对函数求导得 ， ； 由得，，．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表)．由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和 ，点和点是拐点． — 凹 拐点 凸 拐点 凹 三、曲线的渐近线 有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线． 定义 3 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线． （一）水平渐近线 若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线． 例３　对于曲线，由于，，所以直线与是曲线的水平渐近线． （二）垂直渐近线 若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线． 例４ 求的垂直渐近线． 解 因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线． （三）斜渐近线 若曲线的定义域为无限区间，且有，，则直线称为曲线的斜渐近线． 例５ 求曲线的渐近线． 解 因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又 ， ； 所以为曲线的斜渐近线． 四、函数作图的一般步骤 前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤． 第一步 确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）． 第二步 求出方程和在函数定义域内的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间． 第三步 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点． 第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势． 第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形． 例６ 描绘函数的图形． 解 （1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内． （2）是偶函数，图形关于轴对称． （3）曲线与轴的交点为． （4）因，故是一条水平渐近线． （5），令得驻点． （6），令得． 列表如下： — — — — — 极大值 凸 拐点 凹 由上面分析画出草图． （三）、小结 1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线； 3.函数图形的作法. （四）、作业 作业: p139 15，16，17 预习： §6.1 p141—145, 安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案 第 1 页 共 5 页