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含字母系数的一元二次方程常见错解剖析 河北省滦平县第二中学（068250）许志儒 一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。具体表现主要有以下几方面： 一、忽视二次项系数导致字母系数取值范围扩大 例1. 已知关于x的一元二次方程有实根，求a的取值范围。 错解：因为方程有实根，所以△≥0 即 解得 剖析：由一元二次方程的定义知：。 而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为： 依题意得： 解得且 （注：例1等价于：已知关于x的方程有两个实数根，求a的取值范围） 二、忽视△≥0导致错解 例2. 已知：是方程的两实根，求的最大值。 错解：由根与系数的关系得： 所以 所以当时，有最大值19。 剖析：当时，原方程变为，此时△＜0，方程无实根！错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即： 解得 所以当时，有最大值18。 三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小 例3. 已知关于x的方程，当k为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以△≥0 即 解得，又因为 所以且 剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。 （1）当k＝0时，原方程变为一元一次方程，其实根为，故k可取0。 （2）当时，原方程为一元二次方程，须满足△≥0，即且，综合（1）、（2）知：。 四、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大 例4. 若二次方程的两实根都大于2，则m的取值范围为_________。 错解：设方程两实根为，则 所以 依题意得 解得 剖析：当m＝0时，原方程为，其根为，显然不合题意，错因在于：由，且得成立；反之，由则不一定有且成立。 正解：设方程的两实根为，则 依题意得 解得 例5. 已知方程的两实根中仅有一根为负数，求a的取值范围。 错解：设方程两实根为，因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或正数，故有： 解得或 剖析：当且时有成立；反之当时则不能保证两根中必有一个为负数！ 正确解法应分两种情况： （1）当时，有 即 （2）当时，有 解得或，综合（1）、（2）知： 或 五、忽视题目中的隐含条件导致错解 例6. 已知a、b是方程的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。 错解：因为a、b是方程的两个根 所以 又由已知得： 所以 即 解得 剖析：由于a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以，从而，当时 ，故 不合题意，舍去。 当 时，，故k的值为。 注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用。 （初三） 年级 初中 学科 数学 版本 期数 内容标题 含字母系数的一元二次方程常见错解剖析 分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 含字母系数的一元二次方程常见错解剖析 栏目名称 学法指导 供稿老师 审稿老师 录入 李红英 一校 胡丹 二校 审核 1