多边形的外交和.docVIP

“多边形的外角和”的教学案例 复习提问 ①边形的内角和是多少？ 生：. ②什么叫三角形的外角？ 生：三角形的一边和这个顶点的另一边的延长线所组成的图形叫做三角形的外角. ③一个三角形有多少个外角？理由是什么？ 生：有6个，每个顶点处有两个外角，共6个. （师：每个顶点处的两个外角是相等的.） ④什么叫三角形的外角和？ 生：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和. 新课过程 图13-2 （人教版新课标数学教材七年级下）在P83页中有一题：如图13-2，∠BAE，∠FBC，∠ACD是三角形的外角，你能利用三角形的内角和求出三角形的外角和吗？ 师：谁来说一说如何求解？ 生：利用∠CAE，∠ABF，∠BCD是平角，∠CAE＋∠ABF＋∠BCD＝540°，又因为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠BAE＋∠FBC＋∠ACD＝360°. 师：这个证法很好，我们还可以利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”来证明，同学们下来还可以去想想，现在请大家用语言来总结这个结论. 生：三角形的外角和为360°. 师：刚才我们定义了三角形的外角和，你能定义多边形的外角和吗？ 生：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们之和就叫做多边形的外角和. 师：同学们有当数学家的天赋，我们的数学家也是这样定义的.现在我们要探究多边形的外角和，先看简单的，求一个四边形的外角和，如图13-3所示，应如何进行？ 图13-3 生：四边形的每一个顶点处的一个外角加上相邻的内角为180°，有四个顶点，总和为，又因为四边形的内角和为，所以外角和为. 师：完全正确，同学们根据刚才证明三角形的外角和的思路，来证明四边形的外角和，很不错.有何结论？ 生：四边形的外角和为360°. 师：现在请同学们看课本的P88的例2（略，内容是关于六边形的外角和问题） 师：有何结论？ 生：六边形外角和为360°. 师：根据我们刚才的三个结论？你有何猜想？ 生：多边形的外角和为360°. 师：这个想法很好，也就是不管其边数为多少，其外角和为360°，是不变的.要证明了，才能把猜想变成真理，请思考如何证明？ 设边数为. 请大家动笔在草稿本上算算.（给学生几分钟思考的时间） 生：边形有个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为180°，有个180°，这些角的总和为，边形的内角和为，所以边形的外角和为：. 师：很好，现在证明了我们的猜想，得到结论，谁来总结一下？ 生：定理：边形的外角和为360°. 师：这个定理很美，不管其边数怎样变化，其外角和是不变的.这是我们通过计算得来的，应该还能通过其他的角度，让我们认识得更清楚一点.如图13-4所示，通过作这样的辅助线你能证明吗？ 图13-4 把AB平移到CG的位置. （学生思考几分钟） 生：∵CG是由AB平移得来的， ∴AB∥CG， ∴∠EAB＝∠ACG，∠FBD＝∠GCD， ∴∠DCA＋∠EAB＋∠FBD＝∠DCA＋∠ACG＋∠GCD＝360°. 师：很好，可以这样来进行思考：把三角形缩成一个点，其外角刚好围成一个圆，当然是360°了. 图13-5 再看一看四边形，也能这样理解吗？ 师：如图13-5，过C作CK∥DE，CM∥AF，那么这时有…… 生：有∠HDA＝∠DCK，∠EAL＝∠KLB＝∠KCM，∠FBG＝∠GCM. 把这些外角移在一起，刚好围成一个圆. 师：回答正确，也可以这样理解，把四边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然外角和不变了. 师：更多的边数呢？ 生（兴奋地）：一样的，先把多边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然是360°，不管其边数怎样变化，其外角和不变. 师：是这样的，还可以这样理解，如图13-4，一个人面向CD，沿着CA前进时，方向改变为∠DCA；沿AB前进，其方向改变为∠EAB，也就是∠ACG的大小；再由AB转向CD时，方向改变量的大小是∠FBC，也就是∠DCG.此时，刚好转了一圈，是360°.四边形也可以这样理解吗？ 图13-6 生：如图13-5，假设面向CG，转动∠HCG；面向CH，转动∠HCK；面向ED，再转∠KCM；最后转∠MCG，回到出发的位置.刚好转了一圈，因此外角和是360°. 师：再换种理解方法，如图13-6，假设一人从A出发，经过各个顶点，然后回到出发的A点，这个人所转过的角的和恰好是这个多边形的外角和.由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360°.对于其他多边形，也可以作出同样的理解. 师：如图13-7，对于凹多边形来说，显然也会有“外角和”的概念.那么，凹多边形的外角和等于多少呢？ 生：…… 师：就外角和而言，凹多边形与凸多边形的区别在哪里？ 生：旋转的方向到凹角形成的顶点处，角是顺时针旋转；在凸角形成的顶点处，角是逆时针旋转. 师：从数学的角度来看，就是“正”与“