数值计算方法期末复习答案终结版.docVIP

名词解释 1．误差：设为准确值的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。 2．有效数字：的误差限是，则称准确到小数点后n位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 算法：向量范数：，按一定的规则有一实数与之对应，记为，若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意，都有 则称为向量的范数。 5. 插值法：的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似的方法。 6相对误差：为准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误差，记为，即 7. 矩阵范数：。若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意两个n阶方阵A,B,都有； （4） 称为矩阵A的范数。 8． 算子范数：是中的向量范数，则是一种矩阵范数，称其为由向量范数诱导出的矩阵范数，也称算子范数。 9. 矩阵范数与向量范数的相容性：，都有 这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。 10. 范数，范数和范数：范数 （2）范数 （3）范数 二、简答题高斯消元法的思想：迭代法的基本思想：雅可比（Jacobi）迭代法的计算过程（算法）：，，维数n，，，最大容许迭代次数N。 （2）置 （3）对 （4）若，输出x停机；否则转5。 （5），置，转3，否则，输出失败信息，停机。 4. 插值多项式的误差估计： 当时，上式自然成立，因此，上式对上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。 5. 反幂法的基本思想：阶非奇异矩阵，，为A的特征值和相应的特征向量，则 的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即 因此，若对矩阵用幂法，，即可计算出的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的特征值。 6. 雅可比（Jacobi）迭代法是：代入迭代公式 产生向量序列，由上述计算过程所给出的迭代法。 7. 数值计算中应注意的问题是：8. 高斯消去法的计算量：次，乘法次，故消元过程中乘除运算总量为 乘法次数 除法次数 在回代过程中，计算需要次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为 ，所以，高斯消去法的乘除总运算量为 9. 迭代法的收敛条件：和右端项，由迭代格式 产生的向量序列收敛的充要条件是。 10. 迭代法的误差估计：，若，收敛于，则有误差估计式。 计算题 1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？和得 因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为，故有  所以，的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。 2.求矩阵的三角分解 ，， ， ， 所以 3．用幂法（）求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。取 , ， 4. 已知函数，的值10,11,12,13,14对应的的值2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391用Lagrange线性插值求ln11.5的近似值。，，插值基函数为 由式得 将x=11.5代入，即得 按式 得 因为，在11和12之间，故 于是 5. 用Jacobi迭代法（）求解线性方程组 .得 取，代入上式得 6. 设有方程组，其中，讨论用Jacobi迭代法求解的收敛性。 其特征方程 有根，，因而。由向量序列收敛的充要条件是，故Jacobi迭代法不收敛。 7．用反幂法（）求矩阵接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取.作三角分解得 8. 已知函数，的值是10,11,12,13,14对应的的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange抛物线插值求ln11.5的近似值。，，，插值多项式为 所以 因为，于是 因此用抛物线插值法计算的误差为 查表可得 证明题 1. 若的近似值有位有效数字，则为其相对误差限。反之，若的相对误差限满足，则至少具有位有效数字。得 从而有 所以是的相对误差限。 若，由式得 由式，至少有n位有效数字。 2. 设为个互异节点，为这组点上的Lagrange插值基函数，试证明在这n+1个节点处取值均为1，即 ，由式知，它的n次Lagrange插值多项式为 对任意x