数列专题2求数列的通项公式,方法,习题,答案.docVIP

数列专题2 求数列的通项公式 一．等差数列的性质： 1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. Sn/n=d/2 *n+a1-d/2,故数列｛Sn/n｝是等差数列。 an=An+B,SN=An2+Bn, 数列为等差数列 2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 3．当时,则有，特别地，当时，则有. 二.等比数列的性质： （1）当时，则有，特别地，当时，则有.如 （1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）； (2) 当时，，这里，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝ （答：－1） Sn=aqn-a数列为等比数列。 三、数列通项的求法： ⑴公式法： ①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。 如：①已知的前项和满足，求 （答：）； ②数列满足，求 （答：） ⑶已知求，用作商法：。 如数列中，对所有的都有，则______ （答：） ⑷若求用累加法：。 如已知数列满足，，则=________（答：） ⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求 （答：） 注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。 如数列满足，求 （答：） 四、 1、已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)： 形如,,，an=kan-1+an(，a为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求. ⑴ 转化为：an+x=K(an-1+x) 求出X=b/(k-1),k=1时无解，｛an}为等差数列， d=b,可以直接写出。 已知，求（答：）； ⑵an=Kan-1+AbN 转化为：an+xbN=K(an-1+xbN-1) 求出X=A/(k/b-1),k=b时无解，｛an/bn}为等差 数列，d=A,可以直接写出。 已知，求（答：） ⑶转化为：an+An+B=K(an-1+A(n-1)+B) 求出A= a/(k-1),B=b/(k-1)+ka/(k-1)2， k=1 时无解，只能用累加法。 ⑷ an=kan-1+a.n 转化为：an+A(n+1)+B=K(an-1+An+B) 同上,求出A ,B(必须设出B,它不为0） 形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 如①已知，求（答：）； ②已知数列满足=1，，求（答：） 3、数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式； ②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法. 例1：已知数列满足，求数列的通项公式。 解：法一：等比数列法：设 ④ 将代入④式，得， 等式两边消去，得，两边除以，得 代入④式得 ⑤ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 法二：累加法：，两边同除以2n+1得到： an+1/2n+1 -an/2n =(3/2)× an/2n -an-1/2n-1 =(3/2)×(5/2)n-1 ① .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 a3/23 -a2/22 =(3/2)×(5/2)2 ② a2/22 -a1/21 =(3/2)×(5/2)1 ③ 以上式子想家得到：an/2n -a1/21 =(3/2)×(5/2)1 + (3/2)×(5/2)2 +......(3/2)×(5/2)n-1 =3/2((5/2)(5/2)n-1-1)/(5/2-1)整理后答案同上。 例2. 已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式 a1=1； 当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；