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实数集与函数 §1.1实数 授课章节：第一章 实数集与函数——§1.1 实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学过程： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． 问题： 为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、 实数及其性质 (一) 实数 ． 问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数其中,记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0＝ 例： 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？ (二) 两实数大小的比较 1、定义1：给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似；对于实数，其位不足近似；位过剩近似. 注：实数的不足近似当增大时不减，即有 过剩近似当n增大时不增，即有． 命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为 的位不足近似，为的位过剩近似）． 命题应用————例１ 例1．设为实数，，证明存在有理数，满足． 证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且 ．即． 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． 1）封闭性：实数集Ｒ对四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数． 2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：． 3）传递性：． 4）阿基米德性：使得． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设，证明：若对任何正数，有，则． 提示：反证法．利用“有序性”，取. 二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）． （一）绝对值的定义 实数的绝对值的定义为． （二）几何意义 从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应， 表示就是数轴上点与之间的距离． （三）性质 1）（非负性）； 2）； 3），； 4）对任何有（三角不等式）； 5）； 6）（）． 三、几个重要不等式 (1) (2) 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当时成立. (3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且 , 且时, 有严格不等式 证 由 且 (4) 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项. 练习 P4．5 课堂小结：实数：. 作业: P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 河西学院数学系 6