求极限的常用方法.docVIP

毕 业 论 文 题 目： 求极限的方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2013 学生姓名： 俞琴 学 号： 200971010249 指导教师： 伏生茂 求极限的方法 俞 琴 （数学与应用数学 200971010249） 摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定四则运算法则两个重要极限定积分在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础. （一）定义为数列，，，总存在正整数，使得当时，称数列，定数称为数列的极限，或. 定义设函数定义上的函数，，对任，存在正数，使得当时，称当趋于时以为极限或. 定义 设函数在的某心邻域内有定义，，对任，存在正数，使得当时，称当趋于时以为极限或. （二）性质 1.收敛数列的性质： 定理1（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限. 定理2（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有. 定理3（保不等式性）设与均为收敛数列.若存在正数，使得当时有，则. 定理4（迫敛性）设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且. 2.函数极限的性质： 定理1（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的. 定理2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界. 定理3（保不等式性）设与都存在，且在某领域内有，则. 定理4（迫敛性）设，且在某邻域内有 ，则. 二、极限的计算方法 (一)利用定义求极限 例1 用极限的定义证明，这里为正数. 证： 由于 故对任给的，令，则，即 存在，当时，便有，即成立. 这便证明了. 例2 用极限的定义证明. 证：对，要使，取，则当时，成立 所以. 注:由或出发，借助恒等变形和不等式变形进行适当放大，由给定的找到相应的或. （二）利用四则运算法则求极限 应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为,值得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子. 例3 求. 解：先对括号里的式子进行分子有理化 ， 由及例1（设.证明：若，则.）得 . （三）利用无穷小量求极限 1．无穷小量的性质 （1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. （2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 例4 求. 解：当时，是无穷小量，为有界量，即，，所以有. 2.无穷小与无穷大的关系：互为倒数 例5 求. 解：由题可知，，，同时因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即. （四）利用迫敛性求极限 例6 求的极限. 解:因为 又因为，，由极限的迫敛性， 有 . 注:通过迫敛性求极限，一般是将极限的变量作适当的放大和缩小，利用所得的不等式求极限. （五）利用单调有界定理求极限 单调有界定理：在实数系中，单调有界数列必有极限，且极限唯一. 例7 证明数列，，，，… 收敛，并求其极限. 证：记，易见数列是递增的.先用数学归纳法来证明有上界. 显然.假设，则有，从而对一切有，即有上界. 由单调有界定理，数列有极限，记为.由于，对上式两边取极限得，即有，解得或. 由数列极限的保不等式性，是不可能的，故有 . 注:首先要判定证明数列是单调有界的，可设其极限为；再找出数列相邻两项和的关系式；最后用关系式求极限，在关系式两端取极限，得到一个关于的方程，若能解出，问题得解. （六）利用两个重要极限求极限 1. . 2. . 例8 求. 解：令，则，且当时.所以有 例9 求. 解： 注:用两个重要极限求极限时，经常用三角公式或代数公式进行恒等变形或变量代换，使之成为重要极限的标准形式. （七）利用定积分求极限 定积分定义:设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 ，即， 则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作 . 例10 求极限. 解： 令，当时，，令，， 由定积分的定义： . (八)利用归结原则求极限 归结原则：在内有定义