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学科：数学 教学内容：用函数观点看方程（组）与不等式 新课指南 1．知识与技能：能通过函数图象获取信息，发展形象思维． 2．过程与方法：经历猜想、发现、比较、归纳的过程，探究出解决问题的方法，用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组、不等式，发展学生的数学应用能力． 3．情感态度与价值观：通过体会方程（组）、不等式与函数的关系，建立良好的知识联系，充分体会函数知识与方程（组）、不等式和相关几何知识的联系，培养学生用恰当的数学思想方法来解决问题，要理解数学知识来源于实际生活，又反过来服务于生活． 4．重点与难点：重点是利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系、函数与不等式的关系，建立良好的知识联系．难点是利用函数图象解决实际问题． 教材解读 数学与生活 一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如图11－37所示． （1）求0≤x≤4时,y随x变化的函数关系式； （2）求4﹤x≤12时，y随x变化的函数关系式； （3）每分进水、出水各多少升？ 思考讨论 从图象上可以看到，4分水量从0增加到20升，则每分进水：20÷4=5（升）， 则y随x变化的函数关系式是y=5x(0≤x≤4)，也可以设为0≤x≤4，y随x变化的函数关系式是y=kx（k≠0），当x=4时，y=20，代入关系式即可求出k，进而求出函数关系式．由此我们发现，有些问题可以用方程来解答，也可以从函数的观点来解决，如问题（1）.那么另外的两个问题你也会用上述方法解决吗？ 知识详解 知识点1 两条直线的交点 两个一次函数图象的交点表示点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同．例如：求直线y＝x与y=3x-4的交点，就可以把两个二元一次方程组成方程组解得∴两条直线的交点坐标为（2，2）.那么，我们也可以在坐标系内画出这两条直线的图象，如图11－38所示，观察两条直线的交点，正是（2，2）． 知识点2 利用一次函数解决实际问题 一次函数是刻画现实世界物质之间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是，十分广泛．如天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等有关仪器，它们都是应用一次函数的实例，这也是用函数的观点看待方程（组）与不等式等知识的实例． 探究交流 ？ 如图11－39所示，l甲，l乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系为（ ） A．k甲＞k乙 B．k甲=k乙 C．k甲﹤k乙 D．不能确定 点拨 从图象上观察到，l甲与横轴所夹锐角比l乙与横轴所夹锐角大，故k甲＞k乙，故选A项． 知识点3 近似函数关系式 我们通常采用待定系数法来确定函数关系式，但实际生活中存在的数量关系错综复杂，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们之间是什么函数关系．因此需要根据经验分析，并进行近似计算，建立比较接近的函数关系进行研究． 例如：某区2000年统计了该区男学生各年龄组的身高，相关数据如下表所示，求平均身高h（厘米）随年龄组n（岁）变化的近似函数关系式， 年龄组n/岁 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 男生平均身高h/厘米 1115.2 118.5 123.4 128.6 133.1 138.2 143.7 148.9 154.2 162.4 167.8 [分析] 把这些数据所对应的点在坐标系中描出，如图11－40所示，我们发现，这些点大致在一条直线上，因此说h与n的关系接近于一次函数，可以用一条直线去尽可能地接近这些点，求出近似函数关系式，我们选择与直线比较近的点（8，118．5）和（15，154．2）． 解：设近似函数关系式为h＝kn+b，将(8，118．5)和(5，154．2)代入得 ∴ ∴近似函数关系式为h=5．1n+77．7． 【说明】 此题也可选择其他两点来确定近似函数关系式. 典例剖析 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：（1）通过函数图象获取信息；（2）利用函数图象解决实际问题． 例1 如图11－41所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（ ） A．2．5米 B．2米 C．1．5米 D．l米 [分析] 由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0），BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12）求出函数表达式，就能判