数列的基本性质和常用结论.docVIP

数列的基本性质和常用结论 一、等差数列 1.等差数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n，都有（d为常数）为等差数列（定义法） （2）（n）为等差数列（等差中项） (3) =pn+q (p， q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数） 为等差数列 (4) (p， q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数） 为等差数列 2.常用性质 对任何m，n，在等差数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差d=，或d= 若m+n=p+q (m，n，p，q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得= 若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等差数列，且公差为d 3.等差数列前n项和公式： 4.等差数列前n项和常用的基本性质： (1).若等差数列，的前n项和为(n为奇数)，则 (2) 若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列. (3) 记等差数列的前n项和为：①若0，公差d0，则当时，则有最大值；②若0，公差d0，则当时，则有最小值。求最值的方法也可先求出，再用配方法求解。 二、等比数列 1.等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n，都有(q0) 为等比数列（定义法） （2）（0）为等比数列（等比中项） (3) 若数列通项公式为：为等比数列（通项公式法） 2.常用性质 (1) 对任何m，n，在等比数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性. (2) 若m+n=p+q (m， n， p， q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得= (3)， 当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q0时，该数列为摆动数列。 3.等比数列前n项和公式： ４.等比数列前n项和常用的基本性质： 若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等比数列，且公差为 三、通项公式的求法 (1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。 (2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式. ②利用与的关系: 特别注意：该公式对一切数列都成立。 (3)累加法： (4)累乘法： 四、数列前n项和的求法 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式 倒序相加法（参照等差数列前n项和公式的推导） 错位相减法（参照等比数列前n项和公式的推导） 分组求和法 (5)裂项相消法 数列常用基本公式及结论： 1、数列的通项与数列的前项和的关系：。 2、等差数列通项公式：；. 3、等比数列通项公式：； . 注意：⑴累加法：； ⑵累乘法： 这是两种求常用的求数列通项公式的方法。 4、等差数列的前项和公式： 5、等比数列的前n项和公式： 6、若数列成等差数列，则成等差数列. 若数列成等比数列，则成等比数列. 7、常用数列的前n项和：；； ；； 8、常用裂项形式有：； ； ；