第11讲数列的概念与方法.docVIP

第11讲 数列的概念与方法 （一）示标——知识归纳 1．数学列的通项公式：数列的每一项an与项数n的函数关系式an=f(n)称数列通项公式. 2．数列的前n项和：称数列的前n项和. 3．数列的单调性：设D是由连续的正整数构成的集合，若对于D中的每一个n都有 an+1an（或an+1an），则数列在D内单调递增（或单调递减）. 4．an与Sn的关系： 5．两个重要的变换：① ② （二）施标——应用举例 【例1】解答下述问题： （I）数列 ，求数列的通项公式. [解析] （II）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由. [解析] 设在[1000，2000] 被4除余1.被5除余2.被4除余数1且被5除余数为2的整数构成的数列分别为{ak}、{bm}、{cn}，∴ak=4k+1 , bm=5m+2 (k、m∈N*)， ∵ak= bm，∴cn= a5n－1=20n－3 , ∴ ∴所求的整数共有100－50=50个. [评析] 根据条件求数列的通项公式是数列学习的最基本的内容，也是解决许多数 列问题的基本过程. 【例2】解答下述问题： （I）已知数列的通项为an=(n+1)· ，问是否存在正整数M，使得对任意正整数n都有an≤aM？并说明理由. [解析] 问题等价于数列是否存在最大项aM ，若对函数f(x)=(x+1)·求导 在求解f′(x)= 0 时需要查表得到的值，因此应通过考察数列的单调性解决. ∴当n8时 an，单调递增； 当n8时 an，单调递减；而a8=a9, 即a1a2…a8=a9a10a11……， ∴a8与a9,是的最大项， 故存在M=8或9，使得an≤aM对n∈N+ 恒成立. （II）已知函数f(x)=2x－2－x,数列满足f(log2an)=－2n , （1）求数列的通项公式；（2）证明数列是单调递减数列. [解析]（1）由条件得 （III）求正整数a最大值，使得不等式： N*恒成立. [解析]记 的单调性， [评析] 数列的单调性是探索数列的最大、小项及解决其它许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握求数列单调性的程序. 【例3】解答下述问题： （I）设数列{an}的前n项和为Sn=3n2－65n , 求数列{|an|}的的前n项和Tn; [解答] 当n≥2时，an= Sn－Sn－1=（3n265n ）n－1）2－65（n－1）]=6 n－68，而a1=S1=－62也适合，∴当n∈N*时，an=6 n－68，令an≥0得n11， ∴{an}的前11项为负数，从第12项开始各项为正数， ①当 ②当； （II）设数列{an}的前n项和Sn==2an－1(n=1, 2, 3, …), 数列{bn}满足：b1=3 , bk+1=ak+bk (k=1, 2, 3 , …)， 求数列{bn}的通项公式. [解析] ∵当n≥2时，an= Sn－Sn－1= ∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∵bk+1－bk= ak， ∴{bn} 的前n项和 （III）已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(1+Sn)=n+1，求{an}的通项公式. [解析] 由条件得Sn=2n+1－1, ∴a1=S1=3 , 当不适合， （IV）已知数列{an}：1，3，6，15，…的前n项和Sn公式是n的三次多项式求数列的通项公式与前n项和公式. [解析] 设 ③－②得12a+2b=3 ⑤，④－③得18a+2b=9 ⑥， 由⑤、⑥解得a=1，b=－，代入②得c=，代入①得，d=－5， ∴a1=1，而当n≥2时an=3n－12n+15, 而Sn=n3－n2+n－5. [评析] an与Sn的关系式是数列学习中使用率最高的公式，必须熟练掌握它的应用，使公式时必须认真检验a1的值是否适合. （三）固标——方法小结 1．求数列的通项公式与求数列的前n项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁. 2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对an=f(n)求导，应先对函数y=f(x) 求导，然后再分析f(n)的单调性. 3．an与Sn的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“n≥2”开始讨论，千万不要错了一项. 4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换. （四）测标——训练题 1．已知数列的通项公式为an=n(n－1),则下述结论正确的是 （ ） A．420是这个数列的第20项 B．420是这个数列的第21项 C．420是这个数列的第22项 D．4