概率与数理统计(五).docVIP

第四章 随机变量数字特征 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的统计规律，但在实际问题中，求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需要知道它的某些特征，我们把刻划随机变量某些特征的数值称为随机变量的数字特征。 一、随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 为引出数学期望的概念,我们先看一例子: 设有十个数:1，1，2，2，2，3，3，3，3，4 表示平均值，则有： ==2.4 上式又可写成为：=1×+2×+3×+4×=2.4 这里，，，实际是数字1，2，3，4出现的频率。如果把频率改成概率，就是我们讲的数学期望，随机变量X的数学期望用符号E(X)表示。 如果离散型随机变量X的分布律为 i=1、2、, 则X数学期望计算式： E(X)= 即数学期望值是把所有的随机变量可能取值Xi与其对应的概率Pi的积相加 常见的离散型随机变量数学期望 两点分布 E(X)=0 两项分布: X~B(n,p) E(X)=np (证明略) 泊松分布:X~P(λ) E(X)=λ (证明略) P88 例4-3 例4-4 如果离散型随机变量X的分布律为 i=1、2、 令Y=g(X) 则随机变量Y的期望为：E(Y)=E(g(X))= P88 例4-5 p89 例4-6 2、连续型随机变量的期望 设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则X的数学期望为 P89 例4-7 常见的连续型随机变量数学期望 X在[a,b]上服从均匀分布， E(X)= 指数分布 X~E(λ)， E(X)= 正态分布 ， E(X)= 设X为连续型随机变量，其密度函数为fx(x)，而随机变量则 E(Y)=E(g(x))= P91 例4-9 3、二维随机变量的函数的期望 （1）二维随机变量X和Y的期望 若(X,Y)为离散型随机变量，若其分布率为=p{X=,Y=}，边缘分布分别为： = = 则 E(X)= = E(Y)== 例：已知两维随机变量（X,Y）的概率分布为 Y X 0 1 2 0 1/4 1/6 1/8 1 1/4 1/8 1/12 求E(X)和E(Y) 解：先求X和Y的边缘分布和 Y X 0 1 2 0 1/4 1/6 1/8 13/24 1 1/4 1/8 1/12 11/24 1/2 7/24 5/24 E(X)=0*(12/24)+1*(11/24)=11/24; E(Y)=0*(1/2)+1*(7/24)+2*(5/24)=17/24 若(X,Y)为连续型随机变量，f(x,y),fx(x),fy(y)分别为(x,y)的概率密度和边缘概率密度 则 E(X)== E(Y)== （2）二维随机变量（X,Y）的函数g(x,y)的数学期望 离散型：E(g(x,y))= (满足收敛条件) 连续型：E(g(x,y))= （满足收敛条件） P92: 例4-12 4、期望的性质： （1） E(C)=C C为常数，下同 （2）E(CX)=CE(X) （3）E(X+Y)=E(X)+E(Y) 可以推广为：E(C1X+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y) E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+ …E(Xn) E(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ …CnE(Xn) （4）若两个随机变量X,Y互相独立，则 E(XY)=E(X)E(Y) 可以推广：若X1，X2，…，Xn互相独立，则E(X1X2，…Xn)=E(X1)E(X2) …E(Xn) 二、方差 1、方差的概念 下列甲、乙两组各4个数，平均值都是6，显然甲的数据与平均值6比较“集中”，乙的数据与平均值6比较“分散”。 甲： 6、7、6、5 乙： 3、14、5、2 如何刻划（或度量）一组数据的“集中”和“分散”程度？ 可以用组中每个数与这组数平均值的差（称为离差）累加后取平均，但结果发现离差会正负抵消: [(6-6)+(6-7)+(6-6)+(6-5)]/4=(0-1-+0+1)=0/4=0 [(6-3)+(6-14)+(6-5)+(6-2)]/4=(3-8+1+4)/4=0/4=0 当然可以将离差的取绝对值后累加再平均，但绝对值在数学处理上会带来不便。 自然想到的是取离差的平方累加再平均： 甲：[(6-6)2+(6-7)2+(6-6)2+(6-5)2]/4= (0+1+0+1)/4=0.5 乙：[(6-3)2+(6-14)2+(6-5)2+(6-2)2]/3=(9+64+1+16