第五章矩阵的特征值与特征向量问题.docVIP

第四章 矩阵的特征值与特征向量问题 物理、力学和工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题.计算方阵A的特征值，就是求特征方程 即 的根.求出特征值后，再求相应的齐次线性方程组 的非零解,即是对应于的特征向量.这对于阶数较小的矩阵是可以的,但对于阶数较大的矩阵来说,求解是十分困难,所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的. 我们知道,如果矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值.因此人们就希望在相似变换下,把A化为最简单的形式.一般矩阵的最简单的形式是约当标准形.由于在一般情况下,用相似变换把矩阵A化为约当标准形是很困难的,于是人们就设法对矩阵A依次进行相似变换,使其逐步趋向于一个约当标准形,从而求出A的特征值. 本章介绍求部分特征值和特征向量的幂法,反幂法;求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的QR方法. 第一节幂法与反幂法 一 幂法 幂法是一种求任意矩阵A的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法.该方法最大的优点是计算简单,容易在计算机上实现,对稀疏矩阵较为合适,但有时收敛速度很慢. 为了讨论简单,我们假设 (1)n阶方阵A的特征值按模的大小排列为 (1) (2)是对应于特征值的特征向量; (3) 线性无关. 任取一个非零的初始向量,由矩阵A构造一个向量序列 (2) 称为迭代向量.由于线性无关，构成n维向量空间的一组基,所以,初始向量 可唯一表示成 (3) 于是 (4) 因为比值所以 (5) 当k充分大时有 (6) 从而 (7) 这说明当k充分大时,两个相邻迭代向量与近似地相差一个倍数,这个倍数便是矩阵A的按模最大的特征值.若用表示向量的第个分量,则 (8) 也就是说两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵A的按模最大的特征值. 因为,又,所以有,因此向量可近似地作为对应于的特征向量. 这种由已知的非零向量和矩阵A的乘幂构造向量序列以计算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法称为幂法. 由(4)式知,幂法的收敛速度取决于比值的大小.比值越小,收敛越快,但当比值接近于1时,收敛十分缓慢. 用幂法进行计算时,如果,则迭代向量的各个不为零的分量将随着k无限增大而趋于无穷.反之,如果,则的各分量将趋于零.这样在有限字长的计算机上计算时就可能溢出停机.为了避免这一点,在计算过程中，常采用把每步迭代的向量进行规范化,即用 乘以一个常数,使得其分量的模最大为1.这样，迭代公式变为 (9) 其中是模最大的第一个分量.相应地取 (10) 例1 设 用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量(精确到小数点后三位)。 解 取,计算结果如表4-1所示。 表4-1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 -2 2 2 1 -1 1 3 3 -4 3 -4 -0.75 1 -0.75 4 -2.5 3.5 -2.5 3.5 -0.714 1 -0.714 5 -2.428 3.428 -2.428 3.428 -0.708 1 -0.708 6 -2.416 3.416 -2.416 3.416 -0.707 1 -0.707 7 -2.414 3.414 -2.414 3.414 -0.707 1 -0.707 当k=7时, 已经稳定,于是得到 及其相应的特征向量为 应用幂法时,应注意以下两点: (1)应用幂法时,困难在于事先不知道特征值是否满足(1)式，以及方阵A是否有n个线性无关的特征向量.克服上述困难的方法是：先用幂法进行计算,在计算过程中检查是否出现了预期的结果.如果出现了预期的结果,就得到特征值及其相应特征向量的近似值;否则,只能用其它方法来求特征值及其相应的特征向量. (2)如果初始向量选择不当,将导致公式(3)中的系数等于零.但是，由于舍入误差的影响,经若干步迭代后,.按照基向量展开时,的系数可能不等于零。把这一向量看作初始向量，用幂法继续求向量序列,仍然会得出预期的结果,不过收敛速度较慢.如果收敛很