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第四章 刚体的转动 4-1 刚体的定轴转动 【学习指导】 一、刚体的运动 1．平动 刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。 刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。 2．定轴转动 刚体转动：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。 如果转轴的位置或方向是固定不动而不随时间改变的，这种转轴称为固定转轴，此时刚体的运动叫做刚体的定轴转动。 刚体转动的研究方法：刚体作定轴转动时，刚体各质点均绕固定轴作圆周运动，可用质点的圆周运动规律来处理。 二、刚体转动的角速度和角加速度 见学习指导第一章对应内容 三、匀变速转动公式 见学习指导第一章对应内容 四、角量与线量的关系 见学习指导第一章对应内容 【分类习题】 一、选择题 1．以下运动形态不是平动的是 （A）火车在平直的斜坡上运动； （B）火车在拐弯时的运动； （C）活塞在气缸内的运动； （D）空中缆车的运动. *2．一刚体以每分种60转绕z轴作匀速转动。设某时刻刚体上一点P的位置矢量为，则该时刻P点速度为： （A） （B） （C） （D） 二、填空题 1．飞轮作匀角减速转动，角速度在内由减少到。飞轮在这内共转过圈，再经过时间才停止转动。 式中为力在转动平面的投影，为轴指向力的作用点的有向线段，力矩是矢量。 力矩的大小： 力矩的方向：平行于转轴； 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。 二、刚体定轴转动定律（力矩的瞬时作用规律） 定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即 称为刚体定轴转动定律（刚体动力学方程之一），与质点动力学方程相对应。 三、转动惯量 （1）对于质点系 （2）对于刚体 刚体质量线分布：，是质量线密度。 刚体质量面分布：，是质量面密度。 刚体质量体分布：，是质量体密度。 决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。 四、平行轴定理 是刚体相对于通过刚体质心的轴线的转动惯量，是刚体与上述轴线平行的另一轴线的转动惯量，是刚体的质量，是两平行轴线之间的距离。 【典型例题】 【例4-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m１和m２的物体，m１＜m２，如图4.1所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。 【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T２′＞T1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T１＝T1′，Ｔ２＝T２′。T１、T1′和T２、T２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m１与m２有大小相同的加速度a ，且都等于滑轮边缘的切向加速度。 以m１向上、m２向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得 鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度与滑轮角加速度之间的关系，还可以建立一个辅助方程： 求解上述四个联立方程，即得 【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。 与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。T１≠T２是考虑实际转动效应的一个重要特征。 线量与角量的关系a＝rβ，是一个不可少的辅助方程。 【例4-2】 一刚体由长、质量为m的匀质细杆和质量为m的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另一端点的轴O在竖直平面内转动，如图4.2所示。若轴处无摩擦，试求： (1)刚体绕轴的转动惯量； (2)当杆与竖直方向成θ角时的角速度为多大? 【解】 (1) (2)当刚体转动与竖直方向成θ角时，所受合外力矩为 由转动定律得 又因 所以 分离变量积分，得 【分类习题】 一、选择题 1．以下说法正确的是 （A）合外力为零，合外力矩一定为零； （B）合外力为零，合外力矩一定不为零； （C）合外力为零，合外力矩可以不为零； （D） （E）（D）作定轴（轴过质心）转动的物体，不论角加速度多大，所受合外力一定为零. 3．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动，若如图4.3所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 （A）必然增大. （B）（C）（D）（1）（2）（3）（4）， （B）（1）、（2） 正确， （3）、