牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法.docVIP

§3.4 牛顿迭代法 牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。 3.4.1 牛顿迭代法 用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式： 1设，对在点作泰勒展开： 略去二次项，得到的线性近似式：。 由此得到方程0的近似根(假定0)， 即可构造出迭代格式(假定0)： 公式(3.4.1) 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{}收敛于，则就是非线性方程的根。 2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于的线性化近似函数＝是曲线＝过点的切线而得名的，求的零点代之以求的零点，即切线与轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由得到，从几何图形上看，就是过点作函数的切线，切线与轴的交点就是，所以有，整理后也能得出牛顿迭代公式： 。 3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程0的形式如何，总可以构造： 作为方程求解的迭代函数。因为： 而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令： 若0(即根不是0的重根)，则由得：， 因此可令，则也可以得出迭代公式：。 4 迭代法的基本思想是将方程改写成等价的迭代形式，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程，其加速公式具有形式： ，其中 记，上面两式可以合并写成： 这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：。 需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。假设，则可以用代替上式中的，就可得到牛顿法的迭代公式：。 牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。 3.4.2 牛顿迭代法的收敛性 牛顿迭代公式可以看成是由而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根附近的迭代函数是一个压缩映象。由于：， 这里的根是单根，即且，于是：。 那么由的连续性可知，存在一个邻域，对这个邻域内的一切，有：，其中O＜＜1，因此为区间上的一个压缩映象，于是有以下结论： 定理 3.4.1 设，是的精确解，且，则存在的邻域，对于任何迭代初值，迭代序列收敛于。 牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。 定理 3.4.2 设，且满足：在区间上， ⑴ ；⑵ ； ⑶ 不变号；⑷ ，满足条件： 则牛顿迭代序列，单调地收敛于方程的唯一解。 由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形： ① ，，，； ② ，，，； ③ ，，，； ④ ，，，。 对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在区间内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间上的凹向不变。条件⑶和条件⑷一起保证了每一次迭代值都界于区间内。 在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。 【例3.4.1】对于给定的正数，用牛顿法建立求平方根的收敛迭代公式。 解 令，(＞0)，则的正根就是。 用牛顿法求解的迭代公式是：， 公式(3.4.2) 由于当＞0时，＞0，＞0，故由收敛定理可知，对于任意满足条件的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于平方根。公式(3.4.2)是计算平方根的准确而有效的计算方法。 3.4.3 牛顿迭代法的变形 用牛顿法解方程，虽然在单根附近具有较快的收敛速度，但它有个明显的缺点，就是每次都要计算导数，当比较复杂时，计算可能很困难。下面介绍两种克服这种困难的方法，另外还介绍一种扩大牛顿迭代法初值选择范围的方法，它们统称为变形的牛顿迭代法。 1 简化牛顿法 为避免频繁地计算导数值，可将它取为固定值，比如在牛顿迭代公式中用代替，即在迭代过程中始终保持分母不变，则有简化牛顿迭代公式(或固定斜率切线法)： 公式(3.4.3) 其几何意义如下图所示，这时除第一次迭代仍为曲线的切线外，其余皆为该切线的平行线。简化牛顿法避免了每次计算导数值。 更一般地，若取,则迭代公式成为：，称为推广的简化切线法。这时值应满足下式： 满足上式的为：，可见当与同号且满足上述不等式时，推广的简化切线法是收敛的。该迭代形式在参数法里也曾得到过。 2 由牛顿法的收敛性定理知，牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般地说，牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根太远时，迭代将不收敛，而一