直线的参数方程两种形式学案.docVIP

学案7 直线的标准参数方程及一般参数方程互化及应用 教学目标： 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 教学重点：熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化 教学难点：理解参数的几何意义 教学过程 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义. 解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=－ 设倾斜角为，tg=－,= , cos =－, sin= 的参数方程为 （t为参数） ∣t∣是定点M0（1，0）到动点M()的有向线段的长. 点拨：（1）求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. （2）你还能写出其他的参数方程吗？ 例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t∣的几何意义. 解：原方程组变形为 (1)代入(2)消去参数t， 得 (点斜式) 可见k=, tg=,倾斜角= 普通方程为 t的几何意义是有向线段的数量的一半. ∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M()的有向线段的长的一半. 提问;你能直接写出直线斜率吗？ 例3: 将直线的参数方程（t为参数）化为标准形式 变式：及及如何化为标准形式 例4：直线（t为参数）的倾斜角 . 例5：已知直线过点P（2，0），斜率为，直线 和抛物线相交于A、B两点， 设线段AB的中点为M,求： (1)P、M两点间的距离|PM|； (2)M点的坐标； (3)线段AB的长|AB| 解：(1)∵直线过点P（2，0），斜率为,设直线的倾斜角为，tg= cos =, sin=∴直线的标准参数方程为（t为参数）* ∵直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中， 整理得 8t2－15t－50＝0 Δ=152+4×8×500,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1＋t2＝, t1t2＝ ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM|＝ ＝ ∵中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*， M点的坐标为 即 M（，） 例6：已知直线经过点P（1,－3）,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆＝16的两个交点A，B与P点的距离之积. 解：(1)∵直线经过点P（1,－3）,倾斜角为,∴直线的标准参数方 程为，即（t为参数）代入直线： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+2. (2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程 ＝16，得,整理得：t2－8t+12=0， Δ=82-4×120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆＝16的两个交点 A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|, 所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 课下作业 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线的标准参数方程. 直线的方程：（t为参数），那么直线的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115° 直线（t为参数）的斜率是( ) 4、直线的方程： （t为参数）A、B是直线上的两个点，分别对应参数值t1、t2，那么|AB|等于( ) A ∣t 1－t 2∣ B ∣t 1－t 2∣ C D ∣t 1∣+∣t 2∣ 5、已知直线： (t为参数)与直线m：交于P点，求点 M(1,－5)到点P的距离. 6、直线(t为参数)与椭圆交于A、B两点，则|AB|等于( ) A 2 B C 2 D 7、过点P(6, )的直线(