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平稳随机过程
2.1 平稳随机过程的基本概念
引言
“平稳”的中文含意:平坦、稳定。不大起大落。
随机过程,当变化时,得一系列随机变量:,,……。
具有“平稳”性,是指的变化稳定,不“大起大落”,各具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中,,,……往往假设满足“独立同分布”()。“独立”性不太容易满足,“同分布”就包含了“平稳性”。
2.1.1 严平稳过程及其数字特征
一、定义
随机过程的维概率密度(或维分布函数)不随时间起点选择不同而改变。即:对任何和,过程的概率密度满足:
则称为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度
结论:严平稳过程的一维概率密度与时间无关;严平稳过程的二维概率密度只与、时间间隔有关。
证明:当=1时,对任何,有。
取,则有。
当=2时,对任何,有。
取,,则。
三、严平稳过程的数字特征
(1)若是严平稳过程,则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
证明:
(2)若是严平稳过程,则它的自相关函数只是间间隔的单变量的函数。
证明:
=
2.1.2 宽平稳过程
引言:要证明一个过程是严平稳过程往往较困难。在理论和应用中,只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以,严平稳过程的要求可适当放宽。
定义
若随机过程的数学期望为一常数,其自相关函数只与时间间隔有关,且它的均方值有限,即:
则称为宽平稳过程(或广义平稳过程)。
二、举例:
例1 设随机过程,与为常数,为在上均匀分布的随机变量,证明是平稳过程。
证明:=
=
=
=
可见,是宽平稳过程。
例2,设,,式中是随机变量,讨论、的平稳性。
解:是平稳过程,因为:
不是平稳过程,因为:
例3 设随机过程,是在上均匀分布的随机变量,只能取整数,证明是平稳过程。
证明:=
==0
=
=
2.2 遍历性过程
引言:在实用中,如何求的数字特征?以为自变量,是一曲线族。对的测量(考查)时,严格意义上讲,无法同时得到多条曲线。
问题:只获得一条曲线时,能否准确得到的数字特征?
2..2.1 遍历性过程定义
一、随机过程的时间均值、时间自相关函数
的含义是:当固定时,是随机变量的均值。当变动时,相对于时间的均值如何求?
在时间,以为时间间隔,等间距的抽取个点(),得,,……,其平均值为
在随机过程沿整个时间轴的两种时间平均
分别称为时间均值和时间自相关函数。
与都是随机变量。
遍历性过程定义
设是平稳过程,若满足:
(1)以概率1成立,则称的均值具有各态遍历性。
(2)以概率1成立,则称的自相关函数具有各态遍历性。
(3)当时,以概率1成立,则称的均方值具有各态遍历性。
如果的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性,则称是遍历过程。
2..2.2 计算举例
例4 设随机过程,与为常数,为在上均匀分布的随机变量,讨论的遍历性。
解:是遍历过程,因为:
=
例5 ,是随机变量,讨论的遍历性。
解,不是遍历过程,因为:
,而是随机变量,所以。
原因分析:的取值与时间无关,当时间变动时,可能取某个随机值而变动。
2..2.3、随机过程具备遍历性的条件
一、遍历过程必须是平稳的。(平稳过程不一定是遍历的)。
二、平稳过程的均值具备遍历性的充要条件是:
平稳过程的自相关函数具备遍历性的充要条件是:
式中
对于正态平稳过程,若均值为0,自相关函数连续,此过程具备遍历性的一个充要条件是:。
2.3 随机过程统计特征的实验研究方法
引言:遍历过程的有一个很实际的意义:用时间均值来代替随机变量的均值,即用一个历程(一次样本函数)来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。
在具体的工程应用中,需要等间距离散采样,获取的是离散随机数据,具体如下:以单位时间为时间间隔,等间距的抽取个点,得个随机变量,,……,或记为,,……。在工程应用中,得到的是一组样本值,,…, .
利用,,…, 来计算随机过程的统计特征,是工程中常用的方法。
2.3.1、均值估计
具有遍历性,,用时间均值来估计:
是的无偏估计,也是极大似然估计。
2.3.2、方差估计
具有遍历性,已知
方差的估计为:
此估计是极大似然估计,是无偏估计。
未知,方差的估计为:
此估计是渐近无偏估计。
2.3.2、自相关估计
按定义,。
是的渐近无偏估计。
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