第2章平稳随机过程2.docVIP

2.4平稳过程相关函数的性质 2.4.1平稳过程自相关函数的性质 1．　 2．，自相关函数是偶函数。，自协方差函数是偶函数。 证明： 3．，即自相关函数在时具有最大值。同样，即自协方差也在时具有最大值。 证明： 4．若随机过程满足，称是周期平稳过程，其中为过程的周期。周期过程的自相关函数必为周期函数，且与周期过程的周期相同。 证明： 5．若含有一个周期分量，则也含有一个相同的周期分量。 设，为周期分量，，与相互独立。 是周期分量。 6．若平稳过程中不含有任何周期分量，则有 ， 证明：当增大时，与的相关性会减弱，当时，有与相互独立， 7． 证明： 8.平稳过程的自相关函数必须满足 2.4.2相关系数与相关时间 1．相关系数： 2．相关时间：当很大时，与不相关。常定出某一个时间，当时，就可认为与实际上已不相关，这个时间就称为相关时间。 2.5随机过程的联合概率分布和互相关函数 引言：在实际工作中，常常需要同时研究两个或两个以上随机过程的统计特性。如，接受机输入端有信号和噪声，二者可能均是随机过程。 两个随机过程的联合概率分布 设两个随机过程和，它们的概率密度分别为 定义这两个过程的维联合分布函数为： 这两个过程的维联合概率密度为： 若有 或 则称随机过程和是相互独立的。 互相关函数 一、定义：两个随机过程和，在任意两个时刻、的取值为随机变量和，则它们的互相关函数定义为： 过程和的中心化的互相关函数（互协方差函数）定义为： 或 若　　或　　，则称随机过程和互为正交过程。 若　　或　　，则称随机过程和互为不相关。 当我们同时观测两个宽平稳随机过程和时，如果它们的互相关函数函数是时间差的单变量函数时，即 ， 则称过程和为联合宽平稳或平稳相依。 二、性质 （1） （2） （3） （4）互相关系数 显然，。 当时，两个平稳过程和互不相关。 2.6复随机过程 2.6.1复随机变量 一、复随机变量定义： 　式中与皆为实随机变量。 二、复随机变量的数学期望 三、复随机变量的方差 其中。 所以，。 四、两个复随机变量的相关矩 记表示的复共轭，定义两个复复随机变量与的相关矩为： 当时，　。 　若满足，即，则称与为不相关。 若满足，则称与为正交。 对于两个复复随机变量与而言，要涉及四个变量、、、的联合概率分布，若满足： 则称与相互独立。 2.6.2复随机过程 一、复随机过程定义： 　式中与皆为实随机过程。 二、复随机过程的数字特征 1、概率密度 复随机过程的统计特征可以由与的联合概率密度为 期望 3、方差 4、自相关函数 　　 5、自协方差函数（中心化自相关函数） 当时，。 　6、平稳复随机过程 若 则称为宽平稳的复过程。 7、互相关与正交 两个复过程与，互相关函数与互协方差定义为： 若，则称两个复过程与不相关。 若，则称两个复过程与正交。 2.7正态随机过程 回顾：一维正态随机变量：设是服从正态分布的随机变量，则其概率密度函数为 　　二维正态分布：若是二维正态随机变量，，二维正态联合概率密度函数为： 其中，， ，， 2.7.1正态随机过程一般概念 对于随机过程，在任意个时刻（），有个随机变量，，，…… 记 ， 则正态过程的维概率密度函数为： 2.7.2平稳正态随机过程 若正态随机过程的期望与时间无关，相关函数只取决于时间差值，即 ，，这时称正态过程是宽平稳的。 　若正态过程为平稳过程，则概率密度中的参数矩阵中的计算会变得简单。 2.7.3正态随机过程的性质 性质1：正态过程由数学期望与协方差完全确定。即由 完全确定。 性质2，正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。 性质3，正态过程的不相关与独立是等价的。 性质4，平稳正态过程与确定信号之和的概率分布仍为正态分布。 性质5，若正态过程可导（可微），则其导数也是正态过程。 性质6，若正态过程可积，则其积分也是正态过程。 作业1　72—76 3.1—3.25 作业2　论文：随机过程在工程中的应用 　　　　要求：应用随机过程的理论与方法，分析或处理实际信号（最好是以你的课题或导师的研究课题为实例）。字数要求：2000－4000字。 32