第2章第4节函数的连续性.docVIP

重庆科创职业学院授课方案（教案） 课名：高等数学（上） 教师： 杨勇 班级： 编写时间： 课题：2.4函数的连续性 授课时数 2节 教学目的及要求： 1、理解连续点的定义。2、会判别函数的连续性。3、掌握间断点的类型判别。4、理解初等函数的连续性。5、理解闭区间上连续函数的性质 教学重点： 判别函数的连续性，判别函数间断的类型 教学难点：分段函数连续性的判别 教学步骤及内容 ： 一、函数的增量 设函数，当自变量从变到，即在点取得增量时，函数相应地从变到，取得增量，即. 一般地讲既跟有关，又跟有关. 注：举例说明，如边长为的正方形，均匀受热以后，边长、面积的变化情况. 二、函数连续的概念 1、连续 定义1：设函数在点的某邻域有定义（包括本身），如果当自变量的增量趋于零时，相应的函数增量也趋于零，即 ， 则称函数在点处连续. 旁批栏： 定义2：设函数在点的某邻域有定义（包括本身），如果，则称函数在点处连续.并称点为函数的连续点. 说明：函数在点处连续必须满足三个条件： （1）函数在点的某邻域一定要有定义； （2）存在，即在处的左右极限存在且相等； （3）.三者缺一不可. 存在是在点处连续的必要条件，并非充分条件. 2、左连续、右连续 如果，则称函数在点处左连续.如果，则称函数在点处右连续. 定理：函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续. 如果函数在开区间内的每一点都连续则称函数在开区间内连续； 如果函数在开区间内的每一点都连续，并且在端点处右连续，在端点处左连续，则称函数在闭区间上连续. 可以证明：基本初等函数在定义域内为连续函数； 初等函数在定义区间内连续. 连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数。 旁批栏： 例1：考察函数在处的连续性. 解：略 三、函数的间断及其分类 定义：如果函数在点处不连续，则称函数 在点处不连续.并称点为函数的间断点. 如果函数在点处违背连续的三个条件之一，则 函数在点处间断. 例2：正切函数在点处无定义，所以点是函数的间断点. 例3：函数在点处有定义，但 不存在，所以是函数的间断点. 例4：函数在处无定义，所以是函数的间断点. 例5：考察函数在处的连续性. 解：略 （间断） 例6：考察函数在在处的连续性. 解：略 （间断） 第一类间断点： 若是的间断点，且函数则点处的左右极限都存在 旁批栏： 第二间断点： 若是的间断点，但不是第一类间断点，则称是 的第二类间断点. 考察：例2至例6属于哪一类间断点. 四、闭区间上连续函数的性质 最值定理 介值定理 零点定理 五、小结： 1、连续性的判断 2、间断点的类型 六、作业布置：P23 2,3 七、板 书 设 计 板 书 设 计 一、函数的增量 二、函数连续的概念 三、函数的间断及其分类 四、闭区间上连续函数的性质 旁批栏：