第3篇第3讲导数的应用(二).docVIP

第3讲　导数的应用(二) 【2014年高考会这样考】 1．利用导数求函数的极值与闭区间上的最值． 2．利用导数解决生活中的优化问题. 考点梳理 1．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： 求f′(x)； 求方程f′(x)＝0的根； 检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 【助学·微博】 一个区别 极值与最值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．如y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点． (3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件． 考点自测 1．(2012·陕西)设函数f(x)＝xex，则(　　)． A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析　f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)． 当f′(x)≥0时， 即ex(1＋x)≥0，即x≥－1， 当x≥－1时，函数y＝f(x)为增函数． 同理可求，当x－1时，函数f(x)为减函数． 当x＝－1时，函数f(x)取得极小值． 答案　D 2．(2012·全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　)． A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 解析　y′＝3x2－3，当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ － ＋ y  c＋2  c－2  因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，c＝－2或c＝2. 答案　A 3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数表示：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由题意，得y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t8时，y′0；当8t≤9时，y′0，所以当t＝8时，y有最大值，即此时刻通过该路段用时最多． 答案　C 4．(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′