第3篇第4讲定积分的概念与微积分基本定理.docVIP

第4讲　定积分的概念与微积分基本定理 【2014年高考会这样考】 1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程. 考点梳理 1．定积分 (1)定积分的定义及相关概念 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx. 在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的性质 kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中acb)． 2．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式． 3．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定： 设阴影部分面积为S. S＝f(x)dx； S＝－f(x)dx； S＝f(x)dx－f(x)dx； S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx. (2)匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝v(t)dt. 【助学·微博】 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 两条结论 (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负，当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． (2)当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程． 三条性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 考点自测 1．下列积分的值等于1的是(　　)． A.xdx B.(x＋1)dx C.1 dx D.dx 解析　l dx＝x＝1. 答案　C 2．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于(　　)． A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 解析　(ex＋2x)dx＝＝(e＋1)－1＝e. 答案　C 3．(2011·湖南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)． A. B．1 C. D. 解析　S＝∫－cos xdx＝2∫0cos xdx＝0＝. 答案　D 4．(人教A版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________． 解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)． 答案　 m 5．(2012·江西)计算定积分－1(x2＋sin x)dx＝________. 解析　′＝x2＋sin x， －1(x2＋sin x)dx＝＝. 答案　 考向一　定积分的计算 【例1】　计算以下定积分 (1)dx；(2)dx； (3)－1(xcos x－5sin x＋2)dx；(4)|3－2x|dx. [审题视点] 求积分关键是求其原函数，当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得． 解　(1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－ln x， 所以(2x2－)dx＝(x3－ln x)| ＝－ln 2－＝－ln 2. (2)y＝＝ ?? 由图形可知： dx＝ (3)因为y＝xcos x－5sin x为奇函数， 所以－1(xcos x－5sin x＋2)dx ＝＝4. (4)|3－2x|dx＝∫1|3－2x|dx＋|3－2x|dx＝∫1(3－2x)dx＋(2x－3)dx＝(3x－x2)＋(x2－3x) ＝. (1)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (2)若y＝f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0. (3)被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可． 【训练1】 计算|x2－4|dx＝(　　)． A. B. C. D. 解析　|x2－4|dx＝(4－x2)dx