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第4章 射影变换学习辅导(1) 学习方法引荐 本章内容是在仿射变换的基础上，进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量——交比.即从介绍交比概念，引入共线四点的交比和调和比，共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应，射影变换及其特殊情况—对合，主要研究点列到点列的射影对应. 在本章内容中，交比是重要的概念，它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应（变换）是平面射影几何的基础. 作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性，这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性，它们在射影几何中也具有重要地位. 学习本章时要抓住以下几点： 1.点列与线束的交比与调和比； 2.完全四点形和完全四线形的调和性质； 3.一维基本形的射影对应； 4.一维基本形的对合. 它们的基本内容包括如下： 1.点列与线束的交比和调和比 （1）点列的四点的交比. 我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A，B，C，D共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB，CD）=－1时，CD调和分割线段AB，由调和分割的关系是对等的，因此A，B，C，D称为调和点列.（AB，CD）=（CD，AB）=－1 （2）交比的代数表示 设点P1，P2，P的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），单比（P1P2P）=μ，则 （1） P的齐次坐标（，，），当μ=1时，（1）式无意义.但当μ→1时，可得到P1，P2所在直线上的无穷远点.所以（P1P2P∞）=1 即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是 （P1P2，P3P∞）=（P1P2P3） 如果四点P1，P2，P3，P4中，P1或P2为无穷远点，则上式可作为交比的定义. 设四个不同的共线点P1（A+λ1B），P2（A+λ2B）， P3 (A+λ3B)，P4 (A+λ4B)，则 其中λi（i=1，2，3，4）彼此不相等. 设四个不同的共线点的三点及其交比k（k≠1，k≠0）为已知，则第四点必唯一确定. （3）线束的四直线的交比与调和比 与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的. （AB，CD）= 应该注意，四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S的四直线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则 （AB，CD）=（AB，CD） 由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等. 交比经中心投影后不变，即交比为射影性质. 2.完全四点形与完全四线形调和性 利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的作图方法. 设S，S是完全四点形ABCD的一对对边，它们的交点是对边点X，X与其它二对边点的连线是l，l，图4-1.则必有 （SS，ll）=－1 X S l D l S M Q C Y L A B E 图4-1 设S，S是完全四线形ABCD的一对对顶点，它们的连线是对顶线x，x与其它两对顶线交点T，T，图4-2.则（SS，TT）=－1. T S y A x D T C A S 图4-2 3.一维基本形的射影对应 （1）透视对应 如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的. 显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变. （2）射影对应 两个一维基本图形之间的射影对应的性质： ①是一一对应的 ②AB则BA ③具有传递性，即若AB，BC，则AC 两个点列间的一一对应是射影对应任何四点的交比与其对应四点的交比相等. 已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应. 两个点列间的射影对应是透视对应