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第一节 方差分析的基本原理与步骤 方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。 一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1所示。 表6-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式 处理 观测值 合计 平均 A1 x11 x12 … x1j … x1n A2 x21 x22 … x2j … x2n … … Ai xi1 xi2 … xij … xin … … Ak xk1 xk2 … xkj … xkn xk. 合计 表中表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i个处理n个观测值的和；表示全部观测值的总和；表示第i个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为(6-1)表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，令(6-2)(6-3)则(6-4)其中μ表示全试验观测值总体的平均数，是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有(6-5)εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。（6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(6-6)与（6-4）式比较可知，、、分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。（6-4）、（6-6）两式告诉我们：每个观测值都包含处理效应（μi-μ或），与误差(或)，故kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。 二、平方和与自由度的剖分 我们知道，方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。因为方差在统计分析上有许多优点，而且不用开方，所以在方差分析中是用样本方差即均方（meansquares）来度量资料的变异程度的。表6-1中全部观测值的总变异可以用总均方来度量。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。但这种分解是通过将总均方的分子──称为总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母──称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。（一）总平方和的剖分在表6-1中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记为SST。即因为其中所以（6-7）（6-7）式中，为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，即(6-7)式中，为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即于是有SST=SSt+SSe（6-8）(6-7)，（6-8）两式是单因素试验结果总平方和、处理间平方和、处理内平方和的关系式。这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：(6-9)其中，C=x2··/kn称为矫正数。（二）总自由度的剖分在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减一，即kn-1。总自由度记为dfT，即dfT=kn-1。在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即k-1。处理间自由度记为dft，即dft=k-1。在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即（i=1,2,…,k）。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k。处理内自由度记为dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。因为所以(6-10)综合以上各式得：(6-11)各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为（MST或）、MSt（或）和MSe（或）。即（6-12）总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。【例6.1】某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼