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第七节 高阶线性微分方程 教学目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学内容： 一、 二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体，当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹簧力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置。取轴沿铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。 如果使物体具有一个初始速度，那末物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数：。要确定物体的振动规律，就要求出函数。 由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置弹性恢复力（它不包括在平衡位置时和重力相平衡的那一部分弹性力）和物体离开平衡位置的位移成正比例： 其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反。 另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气/油等）的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止。由实验知道，阻力的方向总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有 根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得 移项，并记 ， 则上式化为 （1） 这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。 如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力 的作用，则有 （2） 其中，这就是强迫振动的微分方程。 例2 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压所满足的微分方程 . 设电路中电流为 i(t),极板上的电量为 q(t) ,自感电动势为由电学知 根据回路电压定律：在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 即 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 二、线性微分方程的解的结构 1、定义：方程 (1) 称为二阶线性微分方程。 当时称为齐次的，当时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质 2、解的性质 （2） 定理1 若是（2）的解，则也是（2）的解， 其中，为任意常数。 称性质1为解的叠加原理。 但此解未必是通解，若，则，那么 何时成为通解？只有当与线性无关时。 线性相关 设是定义在区间内的函数，若存在不全为零的数 使得 恒成立，则称线性相关。 线性无关 不是线性相关。 如： 线性相关， 线性无关。 对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，线性无关。 定理2 若是（2）的两个线性无关的特解，那么 （，为任意常数）是方程（2）的通解。 此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 例如，方程是二阶齐次线性方程（这里），容易验证，与是所给方程的两个解，且，即它们是线性无关的。因此方程的通解为 又如，方程也是二阶齐次线性方程(这里)，容易验证，是所给方程的两个解，且，即它们是线性无关的。因此方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 下面讨论二阶非齐次线性方程（5）。我们把方程（6）叫做与非齐次方程（5）对应的齐次方程。 在第四节中我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。 下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。 定理3 设是（1）的特解，是（2）的通解，则是（1）的通解。 证 把（8）式代入方程（5）的左端，得 由于是方程（6）得解，是（5）的解，可知第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于，这样，使（5）的两端恒等，即（8）式是方程（5）的解。 由于对应的齐次方程（6）的通解中含有两个任意常数，所以中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（5）的通解。 如：， 为的通解，又是特解，则的通解。 定理4 设（5）式中，若分别是 ， 的特解，则为原方程