第三章 多维随机变量及其分布.docVIP

第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质．掌握离散型二维随机变量及其联合分布，掌握连续型二维随机变量的联合分布. 教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质．离散型二维随机变量及其联合概率分布，连续型二维随机变量的概念与联合分布. 教学难点：正确理解多维随机变量、其分布函数及联合分布． 教学内容： 1、多维随机变量的定义： 时，二维随机变量记为 2、二维随机变量的分布函数 定义 设是二维随机变量,对任意实数,二元函数 称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数. 3、二维随机变量分布函数的性质 （1） （2） （3）关于变量和分别为不减函数． （4）关于变量和分别为右连续函数． （5），有 4、定义 如果二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限对,则称为二维离散型随机变量. 易知,为二维离散型随机变量当且仅当均为一维离散型随机变量. 定义 设二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称 为二维离散型随机变量的分布律(也称概率分布),或的联合分布律. 5、定义 设为二维随机变量,为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数,使对任意实数,有 , 则称为二维连续型随机变量,并称为的概率密度函数,或的联合概率密度函数. 概率密度函数具有以下性质： 性质1 ； 性质2 ； 性质3 设是平面上的区域,点落入内的概率为 ； 性质4 若在连续,则有 . 教学时数：2学时 作 业：习题三 1、3. §2 边缘分布 教学目的：掌握离散型及连续型二维随机变量的边缘分布，会求边缘分布． 教学重点：离散型及连续型二维随机变量的边缘分布． 教学难点：正确理解边缘分布． 教学内容： 1、边缘分布函数可以由的分布函数所确定, , 即 . 同理 . 2、对于离散型随机变量,易知的分布律为 , 1,2,…, 的分布律为 , 1,2,…, 3、对于连续型随机变量,设它的概率密度函数为,由于 , 对上式两边关于求导数,即得的概率密度函数为 . 同理,的概率密度函数为 . 4、设二维随机变量的概率密度函数为 其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布,记为.试求证两个边缘分布都是一维正态分布,且,. 教学时数：2学时 作 业：习题三 8、9. §3 条件分布 教学目的：掌握二维离散型与连续型随机变量的条件分布，会求条件分布． 教学重点：边二维离散型与连续型随机变量的条件分布． 教学难点：正确理解条件分布，连续型随机变量条件概率密度函数的计算． 教学内容： 1、定义 设是二维离散型随机变量,对于固定的,,则称 , 为在 的条件下随机变量的条件分布律. 同理定义在的条件下随机变量的条件分布律. 2、定义 设为二维连续型随机变量,其概率密度函数为.对固定的,若,则称 为在的条件下随机变量的条件概率密度函数.此处.称为在的条件下的条件分布函数,记为或记作. 同理可定义在的条件下随机变量的条件概率密度函数及条件分布函数. 教学时数：2学时 作 业：习题三、14. §4 相互独立的随机变量 教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性． 教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件． 教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义． 教学内容： 1、随机变量独立性的概念 定义 设随机变量的分布函数为,边缘分布函数为,,若对任意实数,有即则称随机变量和相互独立. 2、离散型情况 对于二维离散型随机变量,其独立性的定义等价于：对于的所有可能取值 有, 即.则称和相互独立. 3、连续型情况 对于二维连续型随机变量,其独立性的定义等价于：等式 在平面上几乎处处成立. 4、推广 （1）以上二维随机变量中和独立性的三个充分必要条件都可以推广到维随机变量中分量独立性的情况． （2）相互独立的意义是的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性． 教学时数：2学时 作 业：习题三 18． §5 两个随机变量的函数的分布 教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法，和的分布． 教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布． 教学难点：连续型二维随机变量函数的分布．