第三章导数及其应用的小结.docVIP

阿尔山市一中高二年级数学学科导学案 主备人 代丽艳 课时 1 时间 45分钟 课题 第章 导数的导数________，则在这个区间上，函数是________，该区间是函数的_______。 ⅱ．如果在某个区间内，函数的导数________，则在这个区间上，函数是________，该区间是函数的_______。 ⅲ. 如果在某个区间内，函数恒有导数________，则为_______。 注：①＞0（或＜0)是在某一区间上是增加的（或减少的）的充分不必要条件.,②在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. ⑵函数的极值与导数 一般情况下，求函数的极值点的步骤如下： ⅰ求出导数________； ⅱ解方程________； ⅲ对于方程=0的每一个解x，分析在x左、右两侧的_______（即的单调性），确定极值点：若在x两侧的符号“左正右负”，则x为______；若在x两侧的符号“左负右正”， 则x为______；若在x两侧的符号相同，则x_______极值点 注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不是极值点 ⑶函数最值的实际应用（优化问题的解决） 求连续函数在上上最值的步骤： ⅰ求在（a,b）上的极值； ⅱ将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 最值与极值的区别与联系： ⅰ最值是整体性概念，极值是局部的概念 ⅱ最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值.函数在某一区间上的极值可能有多个，但在某一区间上存在最大（小）值时，最大（小）值只能有一个 ⅲ极值有可能成为最值，最值存在且不在端点处取得，则必是极值 解决优化问题的方法： 解决优化问题的基本思路是 注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等 三、合作、探究、展示 1．求下列函数的单调区间和极值 ⑴ ⑵ ⑶ 2.设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 解：的定义域为． （Ⅰ）． 当时，；当时，；当时，． 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为． 又． 所以在区间的最大值为． 2. 已知函数 （1）求的极值（2）当时，求的最大值和最小值 2..已知函数(x0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。 解：（I）由题意知，因此，从而． 又对求导得 ． 由题意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为． （III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，从而， 解得或． 所以的取值范围为． 2.已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． （Ⅰ）解：当时，，， 又，． 所以，曲线在点处的切线方程为， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 3．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系，若乙方每生产一吨必须赔付甲方S元（以下称S为赔付价格） （1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔偿价格S是多少？ （答案在中学第二教材） 当堂反馈 1.（07江苏）已知函数上的最大值和最小值分别为M,m， M-m=_________. 2.已知函数得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）,如图所示，求（1）的值（2）a,b,c的值 3.已知的最大值为20，则实数m的值为_________ ※4. (08湖北)若上是减函数，求b的取值范