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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 2 4 6 8 2 速率Vi（m/s） 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率（3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率： (m/s) (2) 方均根速率 (m/s) 3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。 解： 3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。 解：代入数据则分别为： T=100K时 T=1000K时 T=10000K时 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。 解：因 由题意得： ∴T2/T1= 3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s） 解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律： N= ∵ Vp2= ，代入上式 △N= 因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s， 又 △V=1m/s （=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得： △V1= △N2= ∴ △N/△N2= 其中VP=m/s =1.375，=0.687 ∴ 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2 dN= △N1= △N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果: ∴ △N1= （1） △N2=　　（２） 其中VP= 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722 将数字代入（１）、（２）计算，再求得： 3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： 速率在区间vp～1.0vp1内 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内 解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 由麦氏速率分布律： N= 令v2=1.01vp，vi=vp，，则，，利用16题结果可得； 查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468 ∴ 由麦氏速率分布律： ∴ 令， ， ∴ 利用误差函数： （3）令，由麦氏速度分布律得： 3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得： 将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数： A= ∴ （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论： 由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令则 得 又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0 又 ∵T1=100K＜T2=400K ∴＜ 由此作出草图 3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值。 解： 3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 每小时有多少克水银从小孔逸出？ 解：（1） （2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为： 其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，是小孔面积，t=3600s，故，代入数据得： N=4.05×1019（个） ∴ 3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为： 证明：设