第二章离散型随机变量及其分布.docVIP

离散型随机变量及其分布 §2.1.1离散型随机变量 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，，，… 表示． （随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数；试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域） 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . （电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量） 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上 （2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量 小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量 §2.1.2离散型随机变量的分布列 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 也可，1,2，……n表示 ξ的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． （3）对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 3.特殊的分布列（主要根据概率的计算方式不同来分类） （1）两点分布列 在一次实验中，离散型随机变量的可能取值为：0，1 随机变量 X 的分布列是 ξ 0 1 P 像上面这样的分布列称为两点分布列．称X服从两点分布 ( two一point distribution)，而称=P (X = 1）为成功概率． （两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．） （2）超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为 , 其中，且．称分布列 X 0 1 … P … 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) . §2．?2．1条件概率 1.定义：设A和B为两个事件，P(A)0， 称= 为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率（conditional probability ). 读作A 发生的条件下 B 发生的概率． 2. 条件概率的性质 （1）非负性：对任意的Af. （2）如果是两个互斥事件,则 §2．2．2事件的相互独立性 1．相互独立事件的定义 设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立（mutually independent ) . 事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 （若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立） 2．相互独立事件同时发生的概率： §2．2．3独立重复实验与二项分布 1独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2．独立重复试验的概率公式： 一般地，在次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率 3.离散型随机变量的二项分布: 在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率，（k＝0,1,2,…，n，）． （由于恰好是二项展开式 中的各项的值） 称这样的随机变量ξ服从二项分布记作ξ～B(n，p) §2．3．1离散型随机变量的ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 …… 为ξ的均值或数学期望，简称期望． （均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 ） 均值或期望的一个性质: （1） （2）　若ξ～B(n，p)，则np． §2．3．2离散型随机变量的ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，