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行列式的计算方法与解析 重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2007级 刘娟 指导教师：孙晓梅 中文摘要：高等代数是大学数学系的一门基础课，而行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文将行列式的计算方法进行归纳总结，共论述了13种方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。 关键词：行列式 计算方法 范德蒙行列式 解析 Abstract: Determinant of higher algebra is one of the basic and important curriculum content, in mathematics has been widely used, so it is very important for us to know how to calculate the determinant . This method of calculating the determinant is summarized, a total of 13 kinds of methods are discussed and some typical examples introduced by calculating the determinant of certain skills. Key Words: determinant calculation skill Vander Mongolia determinant analysis 一、前言 行列式本文对行列式的解题方法进行总结归纳将一个行列式化为三角形行列式是行列式计算的一个基本思想也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：裂项法规律缺损补足法特征根法等可以看成是它们衍生出的具体方法。 解 2、利用递推关系法 所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。 例2 计算n阶行列式 ，其中 解 将的第一列视为（a-c）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得 (1) 由b与c的对称性，不难得到 (2) 联立（1），(2）解之，得 例3 计算n阶行列式 解 将按第一行展开，得 于是得到一个递推关系式 ，变形得 ， 易知 所以 ，据此关系式再递推，有 如果我们将 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式 ，同样可 的值。 3、提取公因式法 若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。 例4计算N阶行列式 解 该行列式各行元素之和都等于 x+，属于“全和型”，所以 4、利用拉普拉斯（Laplace）定理法 首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：在n阶行列式D= 拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。 例5 计算2n阶行列式 解 5、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法 著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。 例6 计算n阶行列式 分析：由题目观察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可视为，再由行列式的性质，将其化为两个行列式的和，再来计算。 解 原不等式可化为： 把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取（i=1，2，3……n），得 6、利用乘法定理法 在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定