第八章(第一节矩估计法).docVIP

第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体的性质时，如果知道总体的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体的概率分布就完全确定了。例如，总体，但不知道其中参数和的具体数值，我们要想法确定参数 。 为了寻求总体的这些参数的值，我们可对总体进行调查，很自然的会想到用从总体中抽取得的样本值，对总体中的未知参数作出来估计，这类问题就是参数估计。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 设总体的分布函数形式已知，其中是未知参数（也可以是未知向量）。 现从总体中抽得一个样本, 相应的一个样本值观察值为 ； 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量，用它的观察值来估计未知参数。 统计量称为的估计量，称为的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为。 下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。 例1 某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命，但不知道其中参数和的具体数值。为了确定该批灯泡的质量,自然要求估计这批灯泡的平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计和的值. 为了对参数和进行估计， 我们从总体中抽取样本（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值,在不致引起混淆的情况下，今后也用表示随机变量），根据样本矩在一定程度上反映了总体矩的特征，自然想到用样本矩作为总体矩的估计。 于是，我们分别用样本均值和样本方差作为总体均值和总体方差的估计，记为和，即有 , (8.1) ,(8.2) 显然，和都是样本的函数，是统计量，分别称为和的矩估计量。若为样本值,则称 , , 分别为和的矩估计值.对于不同的样本值，估计值也是不同的。 这种用样本矩来估计相应的总体矩的方法，称为矩估计法。 矩估计的理论根据和方法： 设总体的分布函数为 ,未知参数; 总体矩: , 或 , ; 为来自于总体的样本, 为样本值(观察值,抽样结果,具体记录下来的一组数). 样本矩: , , 在一定条件下， , () 或 于是， 可令 作为 的近似值, 即令(人为作出方程组) ,, 或令 ,, 得到含个未知数的个方程式; 解这个联列方程组可得到的一组解(记为): , 则这组解就称作为的矩估计量,其观察值称为矩估计值. 矩估计的另一种观点: 在方程组 ,, 中,求解出解 ,; 将其中的用替换,得到 , () 称 ()为()的矩估计量;将样本值代入得矩估计值. (或从方程组 , , 中,求解出解 ,; 将其中的用替换,得到 , () 称 ()为()的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.) 例2 有一批零件，其长度，现从中任取4件，测的长度（单位：mm）为12.6,13.4,12.8,13.2, 试估计和的值。 解 由 , 得和的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)。 设总体的概率密度为 , 为来自于总体的样本, 为样本值, 求的矩估计。 解 先求总体矩 令 , 即得, 即有 , 解之得 为的矩估计量, 为的矩估计值. 对于作等式的原则，总体矩和样本矩都有多种，要用同样种类的矩列出等式。多个参数时，列等式的方式不唯一，因此，矩估计就得到不唯一的形式. 例如 两个参数情形的矩估计, 可列如下几种方式: , 或,或 . 例4 设总体的概率密度为 ,（），， 求的矩估计量 . 解法一 虽然中仅含有一个参数，但因 不含，不能由此解出，需继续求总体的二阶原点矩 , 用替换， , 即得的矩估计量为 , 解法二 即 , 用替换， 即得的另一矩估计量为 . 此外还需比较估计的优劣性，这一点将在下一节将会介绍，这里不再多说。 2