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第四章 函数的连续性
用定义证明下列函数在定义域内连续：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2．指出下列函数的间断点并说明其类型：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9)
(10)
(11)
(12)
3．当时下列函数无定义，试定义的值，使在连续：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
4．设是连续函数，证明对任何，函数
是连续的.
5．若在点连续，那么和是否也在点连续？反之如何？
6．若函数字点连续，而在点不连续，问此二函数的和、积在点是否连续？又若和在点都不连续，问此二函数的和、积在点是否必不连续？
7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.
8．若在连续，恒正，按定义证明在连续.
9．若和都在连续，试证明和都在连续.
10．证明：设为区间上单调函数，若为的间断点，则必是的第一类间断点.
11．若在,，则在中必有，使得
.
12．研究复合函数和的连续性. 设
(1) ；
(2) .
13．证明：若在连续，且不存在，使，则在恒正或恒负.
14．设为上的递增函数，值域为，证明在上连续.
15．设在上连续，且，若，.求证：
(1) 存在；
(2) 设，则；
(3) 如果将条件改为，则.
16．求下列极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
17．证明方程有且只有一个实根.
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