等边三角形的十个充要条件.docVIP

等边三角形的十个充要条件 三角形是等边三角形有许多充要条件，这些充要条件的形式往往借助三角函数，数列以及向量等语言，并且形式整齐，充满趣味性和思辨性，下面加以整理归纳． 为方便叙述，下面涉及的均为，为的内角，分别为三内角的对边，因为条件的必要性容易验证，故只分析说明对应条件的充分性． １．是等边三角形的充要条件是成等差数列，成等比数列． 分析　由成等差数列，得，由余弦定理得，又， 可得，即，则，是等边三角形． ２．是等边三角形的充要条件是成等差数列，也成等差数列． 分析　由成等差数列，得，又，再由，消去，得，即，则 ，，得．故，是等边三角形． ３．是等边三角形的充要条件是． 分析 由正弦定理及比例性质，得，则． ４．是等边三角形的充要条件是． 分析　移项有，即，则，同理，，是等边三角形． ５．是等边三角形的充要条件是，． 分析表示角的平分线垂直于，故，又 ， ，所以是等边三角形． ６． 是等边三角形的充要条件是的重心与外接圆圆心重合． 分析　如图１，设的重心与外接圆的圆心均为，因为，且为的中点，所以；同理，，．在与中，为公共边，，得，同理可得，故可知是等边三角形． ７．是等边三角形的充要条件是存在点，使得，且 ． 分析　由，得，所以 ，又，得；同理可得．于是，，得，同理．故是等边三角形． ８．是等边三角形的充要条件是． 分析　由已知可得，由在斜三角形中有，可得①，代入前式得②，②－①后可以整理得到，于是，则，则是等边三角形． ９．是等边三角形的充要条件是． 分析　由余弦定理，可得，同理可得，，三式相乘可得，，当且仅当时等号成立，于是可得是等边三角形． １０．是等边三角形的充要条件是． 分析　因为均在区间内，故只有时，成立，于是，故是等边三角形． 论文精编