简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分.docVIP

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设表示关于变量的有理函数。 1．型函数的不定积分。其中 解法：作变量替换，即,于是 ， 转化为有理函数的不定积分。 例1．求 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ，，， 作变量替换，即，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换，即，则 例2．求 解：设 则，，所以 2．型函数的不定积分，其中（即方程无重根） 分两种情况讨论： （1）时，方程有两个不等的实数根、 这时，设，即 ，从而有 于是， 这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。 例3．求 解：方程有两个根：，，设， 则，即，于是， （2）时，方程没有有实数根。此时，、同号（否则），且（否则时，没有意义），从而 设，则，或，此时 ，从而 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。 例4．求 解：设，或，即 有，， ∴ （3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。 例5．求 例6．求 例7．求 二、三角函数的不定积分 三角函数有理式的积分，即型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法——万能代换。 令，就有，且 ， 于是 化为了有理函数的不定积分。 讲解课本例8、例9。 补充例子：求 解：( 用万能代换 ) 还可以用其它的解法。 解法2：( 用初等化简 ) . 解法3：( 用初等化简, 并凑微 ) 可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。 下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。 1．如果，那么可设即可 例10．求 解： 可见，在解题时不一定要“设”，懂得“凑”就行了。 2．如果，那么设即可 例11．求 解： 3．如果，那么设即可 例12．求 解： 4．被积函数是形如的三角函数，分两种情况： （1）如果n与m至少有一个是奇数，那么n是奇数时设；m是奇数时设。 例13．求 解： （2）如果n与m都是偶数，则通过三角公式 ， ， 将被积函数降幂、化简。 例14．求 解： 5．如果被积函数是形如、、的函数，那么就用积化和差公式将被积函数化简。 例15．求 上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如 ，，， 这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。 （用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。）