计算方法简明教程习题全集及解析.docVIP

例1 已知数据表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)= f(11.75)?P2(11.75)= =2.463 8 若用线性插值，因为所求点x＝11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适．注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些．第五章　插值与最小二乘法 5.1　插值问题与插值多项式实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使　　　　　　　　(5.1.1)就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间.通常，其中是一组在上线性无关的函数族，表示组成的函数空间表示为　　　　　　　　　　(5.1.2)这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当时，表示次数不超过n次的多项式集合，，此时　　　　　　　　　(5.1.3)称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示. 插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式. 讲解： 插值多项式就是根据给定n+1个点 ，求一个n次多项式： 使　　　　　　　 即　　　　　　　 这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。当节点互异时由于系数行列式 所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。 5.2　Lagrange插值5.2.1　线性插值与二次插值最简单的插值问题是已知两点及，通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式　　　　　　　(5.2.1)显然，满足插值条件，所以就是线性插值.若记则称为与的线性插值基函数.如图5-2所示. 于是　　　　　　 当n=2，已给三点, 　　　 称为关于点的二次插值基函数，它满足　　　　　　　　　　　　　　　(5.2.2)的图形见图5-3.它们是满足(5.2.2)的二次插值多项式.满足条件的二次插值多项式可表示为　　　　　　　　　(5.2.3)的图形是通过三点　的抛物线. 5.2.2　Lagrange插值多项式将n=1及n=2的插值推广到一般情形，考虑通过(n+1)个点，的插值多项式,使　　　　　　　　(5.2.4)用插值基函数方法可得　　　　　　　　　　(5.2.5)其中　　　(5.2.6)称为关于的n次插值基函数，它满足条件　　　　　　　　 显然(5.2.5)得到的插值多项式满足条件(5.2.4)，则称为Lagrange(拉格朗日)插值多项式.引入记号　　　　　　　　　　　(5.2.7)则　　　 于是由(5.2.6)得到的可改写为　　　　　　　 从而(5.2.4)中的可改为表达式　　　　　　　　　　(5.2.8)并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论.定理2.1　满足条件(5.2.4)的插值多项式是存在唯一的.证明　存在性已由(5.2.5)给出的证明，下面只需证明唯一性.用反证法，假定还有另一个使成立，于是有且，它表明n次多项式有n+1个根这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.5.2.3　插值余项与误差估计若插值区间为,在上有插值多项式，则称为插值余项.定理2.2　设(表示f(x)在上(n+1)阶导数连续)，且节点，则满足条件(5.2.4)的插值多项式对