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数学建模mdash;mdash;传染病模型.
传染病模型
摘要
当今社会,人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律,建立传染病的传播模型,可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述,且针对甲流,SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而是从一般的传播机理分析建立各种模型,如简单模型,SI模型,SIS模型,SIR模型等。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律,评估各种控制措施的效果,
二、问题分析
1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题,其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料,可通过建立相应的微分方程模型加以解决。
2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
3、在实际中,感染人数是离散变量,不具有连续可微性,不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口,这种变化与整体人口相比是微小的。 因此,为了利用数学工具建立微分方程模型,我们还需要一个基本假设:感染人数是时间的连续可微函数。
三、模型假设
模型二和模型三的假设条件:
假设一:在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第一个字母,称之为SI模型),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
假设二:每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率。当病人与健康者接触时,使健康者受感染变为病人。
假设三:模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑,然后设病人每天治愈的比例为,称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者,显然1/是这种传染病的平均传染期。
模型四的假设条件:
假设四:总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类,称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。
假设五:病人的日接触率为(,日治愈率为((与SI模型相同),传染期接触为 (=(/(。
四、符号说明
t ······························· 某一具体时刻
x(t)·····························病人人数
·······························每天每个病人有效接触的人数
N································总人数
s(t)·····························健康者总人数
i(t)·····························病人总人数
i······························初始时刻病人的比例
t····························病人的最大值
····························日治愈率
1/···························平均传染率
·····························接触率
r(t)···························移出者
s·····························初始时刻健康者的比例
五、模型的建立与求解
模型1
在这个最简单的模型中,设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数,并且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数,考察t到病人人数的增加,就有
方程(1)的解为
结果表明,随着t的增加,病人人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别这两种人。
模型2(SI模型)
又因为
方程(5)是Logistic模型。它的解为
这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。
模型3(SIS模型)
有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型成为SIS模型。
考虑到这一模型的假设条件,于是有
(8)
可得微分方程
0 (9)
定义
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