轴对称图形的性质和应用.docVIP

轴对称图形的性质及应用 　 　　如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点． 轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线． 在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等． 另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中． 例1已知直线外有一定点 ，试在上求两点，使（定长），且最短． 分析当把点沿方向平移至（如图1），使，那么问题就转化为在上求一点，使为最短． 作法过作，使，作关于的对称点，连结交于B．在上作，点为所求之两点． 证在上另任取，连PA，，，，，则，，又为平行四边形，∴． ∵＋＞，∴＋＞PA＋PB． 例2如图2，△ABC中，为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC． 分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DPCP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋ACAC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC． 证（略）通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）． 例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于，求此梯形的高． 解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过ADBC的中点MN作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m． ∴OM＋ON＝，即梯形高MN＝． 例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为的正方形ABCD的：EFGH的． 　　证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称． 　　例5如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形． 已知如图5．四边形ABCD中，MF，N，E分别为各边的中点，且MNEF为它的对称轴． 求证ABCD是矩形． 分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可． 证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF， ∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB． 又∵，．∴DEAF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝．∴ABCD是矩形． 山东　　徐传军　　生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明． 　　一、确定方向 　　例1　如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F ？ 　　解：作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P即为所求． 　　例2　如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？ 　　解：作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可． 　　二、确定点的位置找最小值 　　例3　如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ,使得BE+DE最小． 　　解：作点B关于AC的对称点B′,连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点． 　　例4　如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小． 　　解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点． 　　三、与其他学科结合 　　唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗? 　　对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉